Department of Computer Sciences,
University of Göteborg and Chalmers University of Technology,
41296 Göteborg, Sweden
email: tammet@cs.chalmers.se
Puhta loogika eesmärk on olla õige kõigis võimalikes maailmades, mitte ainult selles veider-segases vaevarikkas maailmas, kuhu juhus meid on heitnud. Loogik peab eneses alal hoidma teatud annuse jumalikkust: ta ei tohi alanduda selleni, et teha järeldusi enese ümber nähtust.
B.Russell, ``Sissejuhatus matemaatilisse filosoofiasse''.
Kui loogika oleks olemas isegi juhul, kui maailma ei oleks, siis kuidas saab loogika olemas olla olukorras, kus maailm on olemas?
L.Wittgenstein, ``Tractatus Logico-Philosophicus''.
Esimene küsimus, mis meil esitada tuleb, on küsimus loogika ainest. Mis asi on loogika, ja mida loogikateadus uurib? Sageli jaotatakse loogika aine mitmesse eraldiseisvasse gruppi - matemaatiline loogika, filosoofiline loogika, dialektiline loogika jne. Meie raamat käsitleb peamiselt matemaatilist ehk formaalset loogikat, mis on kaasaja loogikateaduse tuum ja enimarenenud osa. Seejuures on filosoofiline loogika matemaatilise loogikaga väga tihedas suhtes ning üks ei saa olemas olla ilma teiseta: matemaatiline loogika on alati ka filosoofiline loogika, ning nö mittemaatiline filosoofiline loogika on samas oluline matemaatilise loogika jaoks.
Tuleme tagasi loogika aine juurde. Lühidalt ja robustselt öeldes uurib loogika mõtlemise kõige fundamentaalsemaid aspekte. Mis asi mõtlemine õieti on, ja mis on tema fundamentaalsed aspektid? Mõtlemist uurivad paljud distsipliinid, näiteks psühholoogia, ning miks mitte ka ajalugu ja kirjandusteadus. Loogika eripäraks on uurida, mida üldse saab mõelda ja mida mõelda ei saa - võiksime öelda, et loogika uurib puhast ehk täielikult abstraheeritud mõtlemist.
Loogika, mõtlemise ja maailma suhete skaalal on mitu vastaspoolust: ühel pool seisab loogika kui jumaliku, paratamatu ning maailmast sõltumatu tõe uurimine, teiselt poolt aga ei pääse loogika asjaolust, et loogikud on konkreetsed inimesed reaalses maailmas, ning neile omased fundamentaalsed mõtlemisprintsiibid ei pruugi olla needsamad, mis kujutletavatel kosmoses hõljuvatel ülimõtlejatel.
Vaimne tegevus ehk ajutegevus ei koosne kunagi mitte ainult sihipärasest mõtlemisest: suurem osa inimajust tegeleb igasuguste muude, samuti väga oluliste asjadega, nagu silmanärvidest saabunud kujutise analüüs, kõne süntees, assotsiatsioonide otsimine mälust, instinktimehhanismide järgimine jne jne. Isegi juhul, kui seda kõike peaks koordineerima meile tundmatu mittemateriaalne jumalik vaim, jääb nimetatud vaim ikkagi ainult üheks vaimse tegevuse komponendiks. Tegelik mõtlemisprotsess, nagu me seda enda peal kogeme, koosneb tuhandetest protsessidest, mida mõtleja reeglina ei teadvusta - teadvus on vaimse tegevuse jäämäe pisike veepinnale väljaulatuv nurk.
Igasugune vaimne tegevus, nagu ka igasugune protsess üldse, ei ole kindlasti mitte alati mõtlemisprotsess. Poolunes lebamist, toidu ja veini nautimist ning mälestustes uitamist ei saa nimetada mõtlemiseks selle sõna üldkasutatavas tähenduses. ``Mõtlemise'' sõnaga tähistatakse enamasti sihipärast vaimset tegevust mingi kuigivõrd selgelt kirjeldatava probleemi lahendamiseks.
Ei ole võimalik öelda, mis asi on mõte või defineerida selgelt ``mõtlemist'' kui niisugust. Mida me saame teha, on tuua näiteid nii mõtlemisest kui sellisest vaimsest tegevusest, mida mõtlemiseks nimetada ei saa. Ma võin näiteks mõelda, et ``praegu sajab siinsamas õues vihma'', ``ma kaalun vähem kui sada kilo'' või et ``kaks pluss kaks on neli''. Ma võin mõelda, et
Aga ma ei saa mõelda, et
Samamoodi ei saa mõelda, et
Viimased kolm väidet on mõeldamatud ehk absurdsed. Need väited on kahtlemata olemas kui laused, mida saab lugeda ja mille üle saab mõelda, aga neid endid mõelda ei saa: taoliste lausete ütlemine või uskumine on küll vaimne tegevus, aga mitte mõtlemine selle sõna üldkasutatavas tähenduses. Ma ei saa tunnetada, et need laused võiksid olla tõesed.
``Mõtlemise'' sõna laiemalt mõistes võib rääkida ``õigest'' ja ``valest'' mõtlemisest, kuid selle hinnaks on sõna tähenduse hägustumine: kui ma saan n.ö. mõelda ``A on ja A ei ole'' ning ``neli on seesama mis viis'', miks mitte siis juba igasugust vaimset tegevust ``mõtlemiseks'' nimetada. Kuna loogika seisukohast pole meie terminoloogiline probleem kriitiline, jätame siinkohal keelefilosoofilise arutelu katki.
Laias laastus saab mõtlemismehhanisme jagada kahte põhirühma: üldistuste ja järelduste tegemine.
Märgates, et paljud asjad, millega me kokku puutume, esinevad kas enamasti või alati koos, üldistame selle kokkusattumuse sageli reegliks. Laps jätab kiiresti meelde, et küünlaleegi puudutamisele järgneb valuaisting: paarist ``kokkusattumusest'' on ta moodustanud enda jaoks reegli, s.t. ära õppinud, et leegi puudutamine teeb haiget. Keeleõppimine käib enamvähem samamoodi: kui ema ja isa ütlevad ``söök'' enamasti sellises olukorras, kus parajasti süüa pakutakse, või kui nad ``söök'' öeldes toidule osutavad, jätab laps mõne aja pärast meelde seose söögi enda ja sõna ``söök'' vahel.
Enamikel igapäevaselt õpitud reeglitel on paraku omadus erandlikes olukordades mitte kehtida: reeglitel on reeglina erandid. Vanemas eas õpib laps oma üllatuseks, et leegi puudutamine ei olegi alati valus: kui sõrm leegist hästi kiiresti läbi vuhistada (eriti veel siis, kui ta eelnevalt märjaks teha), ei saa üldsegi haiget. Igaüks teab, et lindudel on omadus lennata, aga mitte alati: pingviinid ja jaanalinnud reeglina ei lenda, samuti ei lenda surnud linnud. Erandina erandist lendab jäämerest kõrgele kaldale väljahüppav pingviin ikkagi paar sekundit. Ja nii edasi ja nii edasi: reeglitel on erandid, eranditel on erandid, ning viimastel omakorda erandid, kuni lõpmatuseni.
Üldistuste tegemine ehk induktsioon on seega mõtlemisprotsess, mis ei anda mingeid kindlaid teadmisi. Üldistuste edukus on statistiline: mida sagedamini selliselt leitud reegel kehtib, seda parem, aga ei maksa loota, et ta alati kehtib. Sellele vaatamata on õppimine ja üldistamine inimese ja muu eluslooduse jaoks ilmselt kõige suurema tähtsusega mõtlemisprotsess üldse. Nii linnas kui metsas on kiire reageerimine olulisem kui pikk aeganõudev mõtisklemine.
Kokkuvõtteks: induktsioon kui statistilisi ning paratamatult ebakindlaid tulemusi andev mõtlemismehhanism ei ei kuulu formaalse loogika uurimissfääri. Tasub aga meelde jätta, et ülalkasutatud sõnal ``induktsioon'' on olemas ka teine tähendus ``matemaatilise induktsiooni'' näol. Viimane on täpne mõiste, mis annab alati õigeid resultaate: sellisena kuulub ta loogika olulisemate uurimisobjektide hulka.
Järeldamise mõistel ja järelduste tegemisel on loogikas fundamentaalne koht: loogikat huvitav mõtlemisprotsess on reeglina suunatud lihtsatest faktidest või väidetest keerulisemate järeldamisele. Seetõttu on suur osa loogikas sagedamini kasutatavatest reeglitest ka esitatud järelduse vormis: ühe või mitme väite tõesusest järeldub hoopis uus väide. Loogikareeglite kasutamist uute väidete järeldamiseks nimetatakse sageli nende väidete tuletamiseks ehk tõestamiseks.
Inimene ja muu elusloodus on keeruliste järelduste tegemise jaoks palju halvemini kohastunud kui uute umbkaudsete reeglite õppimisele. Järelduste tegemine võtab palju aega, kuna enamikes olukordades on meil kasutada suur hulk erinevaid reegleid, ning neid reegleid saab kombineerida väga mitmel viisil. Tulemuseni püüdlemine sarnaneb labürindis ekslemisega: mida sügavamat ja keerulisemat järeldust me teha püüame, seda rohkem on teel võimalikke eksiradu, mis tulemuseni ei vii, aega aga raiskavad küll.
Erinevalt induktsioonist garanteerib õigete reeglite rakendamine õigetele faktidele alati ka õige tulemuse. Takistuseks on ainult elnevalt mainitud suur ajakulu, ning probleem, et kas meie reeglid ja faktid ise õiged on, samuti, kas neid reegleid ja fakte on piisavalt palju. Valedelt faktidelt ning ekslike reeglite abil ei ole võimalik teha õigeid järeldusi. Suur osa loogikat ongi seetõttu pühendatud kindlasti õigete reeglite otsimisele.
Loogika uurib mõtlemise paratamatuid aspekte ehk seda, mis üldse teeb mõtlemisest mõtlemise ehk õige mõtlemise. Enamik meie vaimsest tegevusest ilmselt ei ole paratamatu, vaid sõltub tujust, ilmast, haridusest ja muudest taolistest pooljuhuslikest teguritest. Sestap on oluline eraldada välja kasvõi väga väike hulk mõtlemise komponente, ilma milleta kuidagi läbi ei saa ja mis on kindlasti, alati ja igal juhul õiged. Kui me niisugused algkomponendid oleme kord välja eraldanud, saame neid loodetavasti kasutada üha suuremate paratamatult õige mõtlemise konstruktsioonide ehitamiseks.
Mõtlemise fundamentaalsete aspektide väljaeraldamisega tegi teadaolevalt algust vanakreeka filosoof Aristoteles. Raamatus ``Loogika'' loetleb ta hulga mõtlemise kaheldamatult õigeid reegleid, mida kasutades saab veenduda küllalt keeruliste mõtlemiskonstruktsioonide õigsuses.
Küsime nüüd, millised võiksid olla need need õige mõtlemise baaskomponendid. Esiteks tegeleb loogika kui teadus mõtlemise selliste meetoditega, mida saab väidetena kirja panna. Uurides mõtlemise fundamentaalseid aspekte, ei jõuaks me kuigi kaugele, kui ühtteist vahel selgelt kirja ei saaks panna.
Väited, mis on paratamatult õiged, on seda sageli oma ehituse tõttu. Näiteks on väide ``kui praegu sajab vihma, siis praegu sajab vihma'' õige sõltumata sellest, kas praegu ka tegelikult vihma sajab või ei. ``Praegu sajab vihma'' asemele võiksime uuritavas väites samahästi kirjutada ``kaks pluss kaks on neli'' või ``kaks pluss kaks on viis'', uuritav väide jääks ikka tõeseks. Kuna meid huvitab esmajoones väidete üldine ehitus, siis kasutame nüüdsest kokkulepet, et need väite osad, mida võib suvaliselt asendada, tähistatakse suurte tähtedega, mida nimetatakse lausemuutujateks.
Niisiis on alati ehk tautoloogiliselt õige järgmine:
ehk lühemalt ja peaaegu ekvivalentselt
Nagu öeldud, tähistab lausemuutuja A siin suvalist väidet: A sisust või õigsusest meie suurema väite õigsus ei sõltu. Viimane on õige oma ehituse ehk vormi ehk struktuuri tõttu.
Samamoodi on oma ehituse tõttu õiged
Muutjad A ja B tähistavad siin jällegi suvalisi väiteid.
Toodud näidetes moodustasime väiteid sidesõnade ``ja'', ``ei'', ning ``järeldub'' ehk ``kui ... siis'' abil. Sellised sidesõnad vastavad ilmsesti mõtlemise tõeliselt fundamentaalsetele kategooriatele, ilma milleta me mõtlemist ette kujutada ei oska. Lisaks taolistele sidesõnadega märgitud kategooriatele sisaldab mõtlemine ilmselt veel hulga teisigi keeles väljendatavaid kategooriaid. Eriti olulised paistavad olema konstruktsioonid, mida saab moodustada ``kõigi'', ``olemasolemise'' ja ``omaduse'' abil. Näide triviaalsest tõest (eeldusel, et mingid asjad on üldse olemas):
Viimane väide on õige konstruktsiooni tõttu, P sisust sõltumata: P võib olla omadus ``olla punane kala'' või omadus ``kas mitte olla arv või olla viiest suurem arv'', see asja ei muuda. Samas ilmselt ei ole tõsi väide
Vaatame järeldust kahest eeldusest:
See tuletus on õige oma konstruktsiooni tõttu, sõltumata sõnade nagu ``neljajalgne'', ``koer'' ja ``imetaja'' sisust. Viimased võib välja vahetada:
Tuletuse struktuuri võib seega esitada muutujate x,y ja z abil ning tuletus on õige sõltumata fraasidest, millega neid muutujaid asendada:
Loogikas uuritavad tuletused ei koosne enamasti mitte ühe reegli ühekordsest rakendamisest, vaid mitmete reeglite mitmekordest rakendamisest: tuletus ehk tõestus koosneb lihtsatest osadest, kuid moodustab tervikuna omaette keerulise struktuuri.
Keerulise tuletusstruktuuri esitamine inimkeelsete lausetena muudab esimese väga suureks, kohmakaks ja raskesti mõistetavaks. Loogikas on seetõttu kasutusel spetsiaalsed formaalsed keeled, mis on harilike keeltega võrreldes lühemalt kirjapandavad. Mis kõige tähtsam: formaalsed keeled väldivad harilikus keeles esinevaid mitmetähenduslikkusi. Üks näide: 6. sajandil e.m.a elanud Lüüdia kuningas Kröösus uuris Delfi oraaklilt järele, kas tasub minna sõjakäigule Pärsia vastu. Oraakel ütles: ``kui alustad sõda Pärsiaga, hävitad võimsa kuningriigi''. Oraaklilt julgustust saanud Kröösus ründaski Pärsiat, kuid kaotas. Hävis nimelt tema enda kuningriik!
Lihtsustatuse tõttu on formaalsed keeled harilike keeltega võrreldes palju vaesemad, ning võimaldavad edasi anda ainult väga piiratud ampluaad väiteid. Üks lihtsamaid formaalseid keeli on nn. lausearvutuse keel. Viimases saab väiteid moodustada lihtväiteid tähistavatest tähtedest loogilist tähendust omavaid sidesõnu (ja,või,ei,kui...siis) tähistavate sümbolite ( &, Ú, Ø, Þ) abil.
Mainitud olulistel sidesõnadel endilgi ei ole harilikus keeles täpset tähendust. ``Või'' esineb sageli tähenduses ``kas see või teine''. Lause ``ta on punapäine või meessoost'' on harilikus keelekasutuses kohatu. Klassikalise loogika jaoks on formaalne väide A ÚB õige siis ja ainult siis, kui vähemalt üks väidetest A ja B on õige; seejuures võivad ka mõlemad korraga õiged olla.
Loomuliku keele järeldussuhe erineb samuti formaalsest. Lause ``kuu peal on lehmi, järelikult olen ma kolm meetrit pikk'' on loomuliku keele mõttes väär, kuna sõna ``jaärelikult'' ei sobi panna asjade vahele, mis ilmselt pole omavahel põhjuslikus seoses. Klassikalise loogika järeldussuhe A ÞB on aga õige siis ja ainult siis, kui kas B on õige või A on vale: teiste sõnadega, B ÚØA. Kui kuu peal lehmi pole, siis on lause ``'kuu peal on lehmi' Þ 'ma olen kolm meetrit pikk''' formaalselt õige, A ja B põhjuslik suhe pole seejuures oluline.
Lisaks mainitud klassikalisele loogikale on olemas hulk erinevaid mitteklassikalisi loogikaid, kus väidete tõesus ja loogikatehete nagu Ú ja Þ täpne tähendus on defineeritud hoopis teisiti. Mitmed mitteklassikalised loogikad püüavad tabada elementaarsete loogikatehete nö igapäevast tähendust, nagu näiteks järeldussuhte põhjuslikku iseloomu.
Näiteid: Lause ``kui 'A ja B', siis A'' pannakse kirja kui (A &B) ÞA. Ülalmainitud järeldusreegli saab kirja panna kui
|
Esimesest kahest saab järeldusreegli abil formaalselt tuletada väite B, ning B ja väide (3) annavad järeldusreegli abil lõpuks väite C. Viimase tuletussammu formaalseks läbiviimiseks asendasime järeldusreeglis muutujad A ja B muutujatega B ning C. Enamik loogikaharusid kasutab lausearvutuse keele rikastatud variante, mis lubavad kirja panna märksa keerulisemaid väiteid, kui puhas lausearvutus võimaldab. Olulisem neist rikkamatest formaalsetest keeltest on predikaatarvutuse keel, milles saab rääkida objektidest, nende omadustest ja omavahelistest suhetest.
Keerulisemad formaalsed keeled võimaldavad väljendada lisaks samasust, paratamatust, võimalikkust, teadmist ja aega, suhtuda väidetesse kui objektidesse, kasutada vaikimisi-reegleid jne. Põhimõtteliselt on võimalik konstrueerida kuitahes keerulisi ja väljendusrikkaid formaalseid keeli, kuid fikseerimata ning pidevalt areneva loomuliku keelega võrreldes jääb mistahes formaalne keel alati piiratuks.
Kuivõrd loogika uurib mõtlemise fundamentaalseid ja abstraktseid omadusi, siis on formaalse keele piiratus loogika seisukohast kasulik. Formaalses keeles moodustatud tuletus ehk tõestus on selgepiiriline matemaatika vahendite abil uuritav objekt, ning enamikku formaalset loogikat nimetatakse uurimismeetodi järgi sageli matemaatiliseks loogikaks.
Formaalsete keelte kasutamisel loogikas pole motivatsiooniks mitte ainult nende keelte lihtsus ja tuletuste selge ning ühemõtteline struktuur. Formaalseid keeli kasutatakse ju laialdaselt ka loogikast väljaspool, näiteks arvutite programmeerimisel: kõik programmeerimiskeeled on formaalsed keeled.
Loogikas kasutatakse selliseid formaalseid keeli, mille jaoks on vo imalik konstrueerida algoritmi (s.o. selged, ühemõttelised, mehhaaniliselt järgitavad juhised) õigete lausete konstrueerimiseks. st iga niisuguse keele K jaoks konstrueeritakse algoritm M, mille abil saab kontrollida, kas suvaline antud keeles K kirjutatud väide on õige või ei. Taoline algoritm esitatakse enamasti loogikareeglite koguna.
Keerulises formaalses keeles kirjutatud keerulised väited võivad väljendada ka olulisi ning üpris keerulisi probleeme. Mehhaanilise, arvuti abil teostatava kontrolli võimalus v~ib tunduda väga ahvatlev, kuid siin tuleb arvestada, et keeruliste lausete õigsuse kontroll on reeglina väga töömahukas ülesanne ning et suurema enamiku tõeliselt huvitavate väidete (kasvõi enamiku senilahendamata matemaatikaprobleemide) õigsuse automaatne kontrollimine ei ole kaasaegsetele arvutitele jõukohane. Põhimõtteliselt on automaatne kontroll küll võimalik, kuid ta võib võtta arvutil aega sadu miljardeid aastaid, st sageli pole mingit lootust seda tegelikult kasutada. See ei tähenda muidugi, et lootust üldse pole: teatud sorti suhteliselt lihtsamate väidetega saab arvuti mõistliku aja jooksul hakkama.
Väidete õigsuse automaatsest kontrollimisest rääkides tuleb vahet teha õigete väidete õigsuse tõestamisel ja valede väidete mitte-õigsuse tõestamisel. Esimene probleem (õigete väidete õigsuse tõestamine) on algoritmi abil reeglina mehhaniseeritav, teine probleem (valede väidete mitte-õigsuse tõestamine) aga pole keerulisemate formaalsete keelte (näiteks predikaatarvutuse keel) jaoks mehhaniseeritav. Viimasel juhul suudavad algoritmid teatud hulga väidete jaoks näidata, et need pole ~iged, kuid nad ei suuda näidata seda kõigi valede väidete jaoks, vaid jä\"vad halvemal juhul igavesti tööle, mingitki resultaati andmata.
Niisuguse asümmeetria põhjuseks on asjaolu, et keerulisemate formaalsete keelte jaoks saab kirjutada algoritmi k~igi tõeste väidete tuletamiseks, mitte aga kõigi valede väidete tuletamiseks. Tõeste väidete tuletamise algoritmi skeem on reeglina järgmine: alustatatakse lõplikust hulgast elementaarsetest baastõdedest ehk aksioomidest. Aksioomidele rakendatakse tuletusreegleid, mis kasutavad teadaolevaid ehk juba tuletatud tõeseid väiteid. Sel viisil saadakse uued tõesed väited, mida saab nüüd omakorda kasutada tuletusreeglite eeldustena. Kui meid huvitav väide V on tõene, siis tähendab see, et nimetatud väide taolise protsessi käigus ka ükskord tuletatakse. Kui V aga pole tõene, siis teda muidugi ei tuletata, ning meil oleks vaja mingil viisil tõestada, et väidet V antud tuletusalgoritmiga tuletada ei saa. Üldjuhul pole aga võmalik anda algoritmi, mis sellise tõestuse iga V jaoks alati leida suudaks.
Kokkuvõtteks: loogika uurib selliseid formaalseid keeli, mille jaoks suudetakse kirja panna selles keeles kirjutatud õigete väidete tuletamise algoritm. Loogika poolt kasutatav keel käib alati paaris n.ö. mehaanilise mõtlemise mehhanismiga; keelest ja tuletamismehhanismist koosnevat paari nimetatakse teooriaks ehk arvutuseks. Arvutust, mille iga lause jaoks saab algoritmiselt lahendada, kas ta on tõene või väär, nimetatakse lahenduvaks (näide: lausearvutus), ülejäänuid nimetatakse mittelahenduvaks (näide: predikaatarvutus).
Meie näited olid siiamaani triviaalsed ja lugejal võib tekkida kahtlus, et kas selliste triviaalsuste uurimine saab öelda midagi olulist mõtlemise või üldse millegi kohta. Vastuseks ütleme, et loogika alustab teadlikult triviaalsustest, ning mida triviaalsematest, seda parem: nende õigsuse suhtes ei teki kellelgi mingeid kahtlusi. Oluline on, et loogika ei jää triviaalsuste juurde pidama, vaid näitab, kuidas neist konstrueerida üha keerulisemaid ja sisukamaid väiteid. Viimaste õigsus on sageli kõike muud kui triviaalne (tegu võib olla näiteks keeruliste teoreemidega matemaatikas), aga iga üksik samm tema konstruktsioonis on triviaalselt arusaadav ja õige.
Võtame esimeseks näitevaldkonnaks sugulussidemete kontrollimise ülesande. Et midagi kontrollida, peab meil kõigepealt olema kuskilt võtta andmebaas, kus hulga inimeste jaoks kirjas, kes on tema ema ja kes on isa. Sellise andmebaasi saab kirja panna kui suure väite stiilis ``Leena Tammik on Jaan Tammiku ema ja Mihkel Tammik on Jaan Tammiku isa ja Jaan Tammik on Mart Tammiku isa ja Maia Kask on Ants Kase ema ja Mihkel Tammik on Ants Kase isa ja ...''. Predikaatarvutuse formaalses keeles märgitakse asjaolu, et objektidel x ja y on suhe P järgmiselt: P(x,y). Sugulaste andmebaas näeb predikaatarvutuse keeles välja niimoodi:
Vanaisaks ja vendadeks olemise saab defineerida järgmiste väidete abil:
Predikaatarvutuse keeles: "x "y (vanaisa(x,y) Û $z isa(x,z) & (isa(z,y) Ú ema(z,y)) ). Fraas "x tähendab ``iga x-i jaoks kehtib'', $x tähendab ``on olemas selline x, et ¼''.
Predikaatarvutuse keeles: "x "y (vend(x,y) Û $z (isa(z,x) & isa(z,y)) Ú $u (ema(u,x) & ema(u,y))
Äsjatoodud definitsioonides tähistavad väikesed tähed x,z,y ja u suvalisi inimesi.
Nüüd saame leida kindlasti õigeid vastuseid küsimustele sugulussidemete kohta, mis tulenevad meie andmebaasist. Küsimusele ``kas Mihkel Tammik on Mart Tammiku vanaisa?'' jaatava vastuse andmiseks tuletame väite ``Mihkel Tammik on Mart Tammiku vanaisa'', ehk predikaatarvutuse keeles vanaisa(Mihkel_Tammik,Mart_Tammik). Tuletamise juures kasutame mehhaaniliselt, ilma omapoolsete lisa-arutlusteta meile etteantud andmebaasi ning loogika elementaarselt tõeseid väiteid. Selleks asendame vanaisa-suhet defineerivas väites muutuja x nimega Mihkel_Tammik, muutuja y nimega Mart_Tammik ja muutuja z nimega Jaan_Tammik. Vanaisa definitsiooni kahepoolsest järeldussuhtest Û läheb meil tarvis ainult vasakpoolset Ü. Seega saame vanaisa-reegli meie jaoks vajaliku esialgse erikuju vanaisa(Mihkel_Tammik,Mart_Tammik) Ü isa(Mihkel_Tammik,Jaan_Tammik) & (isa(Jaan_Tammik,Mart_Tammik) Ú ema(Jaan_Tammik,Mart_Tammik)). Lauseosa (isa(Jaan_Tammik,Mart_Tammik) Ú ema(Jaan_Tammik,Mart_Tammik)) tuletamiseks piisab sellest, kui tõestada (isa(Jaan_Tammik,Mart_Tammik). Reegli lõpliku erikujuna kasutame j"rgmist: vanaisa(Mihkel_Tammik,Mart_Tammik) Ü isa(Mihkel_Tammik,Jaan_Tammik) & isa(Jaan_Tammik,Mart_Tammik) . Viimased kaks väidet on meie sugulussidemete andmebaasis olemas, ning järeldusreegli abil saame seetõttu tuletada vanaisa(Mihkel_Tammik,Mart_Tammik).
Võib muidugi küsida, kust näiteks peaksime teadma, et z-ks sobib nimelt Jaan_Tammik. Taolistele küsimustele vastuse leidmine on nimelt see, mis tegeliku tõestamise väga töömahukaks muudab. Üldiselt ei ole olemas muud töökindlat varianti, kui kõigi võimaluste mehaaniline järeleproovimine, st kuni tulemus käes pole, tuleb katseliselt asendada z-i nii Mihkel, Mart, Jaan, Leena, Maia Tammiku kui ka Ants Kasega.
Võtame teiseks näitevaldkonnaks praktilise probleemi tuumaelektrijaamadega. Sellistes suurtes jaamades on keerukad mitmekordselt dubleeritud juhtimis- ja kaitsesüsteemid, mis peavad garanteerima, et õnnetusi kunagi ei juhtuks. Iga niisuguse süsteemi saab kirja panna suure hulga elementaarsete väidetena. Küsimuse kaitsesüsteemide endi korrektsuse kohta saab püstida kui küsimuse, et kas õnnetus on töökorras kaitsesüsteemi korral välistatud. Sellisele küsimusele kindlasti õige vastuse leidmine on väga oluline ja samas väga keeruline, ning siin kasutataksegi sagel arvutite abi. Arvuti abil püütakse tuletada väide ``juhtimissüsteemi korrektsust kinnitav väide jaäreldub juhtimissüsteemi kirjeldavate väidete hulgast'', kasutades selle juures abivahenditena ainult elementaarseid, kindlasti tõeseid väiteid.
Mõistagi ei garanteeri kaitsesüsteemide korrektsuse tõestamine, et kaitsesüsteemi hoopiski välja ei lülitata, misjärel õnnetus võib juhtuda kõigele vaatamata. Selle vältimiseks oleks vaja kirjeldada detailselt kõigi inimeste ja ehk koguni kogu maailma olek ja võimalik käitumine. Kui teoreetiliselt võiks niisugune kirjeldus olla ehk isegi võimalik, siis praktiliselt on seda võimatu konstrueerida, kasutamisest rääkimata: kirjeldus oleks lootusetult suur.
Võtame kolmandaks näitevaldkonnaks harilike täisarvudega tegeleva matemaatika. Nimetame sellist sorti matemaatikat ``aritmeetikaks''. Aritmeetika valdkonnas defineeritakse liitmis- ja korrutamistehted ning hakatakse seejärel teoreeme tõestama. Lihtsaimad teoreemid on harilikud arvutusülesanded nagu
keerulisemad aga pärivad arvude ja tehete üldiste omaduste järele, nagu
jne jne. Aritmeetika on piiramatult keeruline: arvude kohta saab esitada lõpmatult palju küsimusi ehk tõestust ootavaid teoreeme, ja lahendatud on sellest lõpmatust hulgast vaid mõned tuhanded.
Aritmeetika alused, näiteks liitmis- ja korrutamistehted, saab selgete väidetena suhteliselt kergesti kirja panna. Samuti saab kirja panna iga huvipakkuva aritmeetikateoreemi. Teoreemi tõestamiseks tuleb teda kirjeldav väide tuletada aritmeetika aluseid kajastavate väidete hulgast, kasutades selle juures lisaks vaid elementaarselt tõeseid väiteid. Kui me niisuguse tuletuse oleme leidnud, on teoreem ilma igasuguse kahtlusevarjuta õige.
Niisiis on loogikute üks ülesanne välja eraldada mõtlemise kirjapandavaid baaskomponente: oma struktuuri tõttu paratamatult tõeseid väiteid ehk aksioome ja teadalolevalt tõestest väidetest uute väidete moodustamise elementaarseid reegleid.
Kõigi selliste mõtlemise baaskomponentide olulisim omadus on, et nende tõesust ei saa tõestada: me lihtsalt teame ehk usume, et nad on tõesed. Enamasti usume me seda sellepärast, et need baaskomponendid on niivõrd lihtsad ja nende tõesus näib olevat paratamatu. Ei saa ju kahelda väites ``kui A, siis A'', samas ei saa seda väidet ka kuidagi tõestada: tõestus peaks kusagilt pihta hakkama, aga kust? Tõestuste alguspunktid ning uute väidete tuletamise reeglid ongi meie ainus kindel pind, mõtlemise alus, milles kahelda ei saa.
Küsime nüüd, kui palju selliseid uskumist nõudvaid baaskomponente üldse olemas on ehk kui palju neid mõtlemise juures vaja läheb?
Vastus sõltub sellest, mis sorti valdkonnast me mõelda soovime. Võib muidugi öelda, et soovime mõelda kõigest, aga vaatame esialgu ülalpool toodud kolme konkreetset näidet: sugulussidemete andmebaas, tuumajaama kaitsesüsteem ja aritmeetika.
Esimese kahe oluliseks omaduseks on nende lõplikkus. Tõepoolest, olgu sugulaste andmebaasis või mitu miljonit nime, nende hulk on ikkagi lõplik. Samamoodi tuumajaamaga: kuitahes keeruline kaitsesüsteem ka ei oleks, sellegipoolest on tegu lõpliku hulga torude, juhtmete, andurite ja muude komponentidega, mis teatud konkreetsel viisil kokku pandud. Niisuguste lõplike andmebaaside või süsteemide üle arutlemise jaoks on loogika täielik: põhimõtteliselt on võimalik kogu süsteem hulga väidete abil ära kirjeldada, ning seejärel saab väikese hulga standardsete loogikareeglite abil tuletada iga õige väite nimetatud süsteemi kohta.
Erinevalt esimesest kahest on meie kolmanda näite - aritmeetika - näol tegemist lõpmatu süsteemiga: täisarve on ju lõpmatult palju. Kas lõpmatut süsteemi saab üldse kirjeldada lõpliku hulga väidete abil? Teatud piirini saab. Defineerime näiteks täisarvude hulga:
Definitsioonis kasutasime sümboleid 0 ja + 1, millele me mingit aprioorset tähendust ei omista. Oluline on võimalus konstrueerida definitsiooni abil lõpmatu hulk objekte:
|
Vaatame esialgu aritmeetika piiratud varianti, nn. Presburgeri aritmeetikat. Viimases defineeritakse üksainus tehe - liitmine - ja kirja on võimalik panna mitmesuguseid teoreeme liitmise kohta. Saab näidata, et niisugune ainult liitmist sisaldav aritmeetika on lõpliku hulga väidete Q abil täielikult aksiomatiseeritav. St, iga matemaatiliselt õige teoreem selles aritmeetikas on loogiliselt tuletatav Q-s sisalduvatest baasväidetest, sellele vaatamata, et täisarve on lõpmatult palju.
Liigume nüüd edasi piiranguteta aritmeetika juurde. Piirangute kaotamiseks piisab korrutamise lubamisest: nimelt saab liitmise ja korrutamise abil defineerida ka teised tuntud aritmeetikatehted.
Olgu meil hulk aritmeetika aluseid kirjeldavaid baasväiteid G. Kas iga aritmeetikateoreemi, mis on tegelikult tõene, saab loogikareeglite abil tuletada G-st? Kui jah, siis on G aritmeetika jaoks täielik aksioomide kogu. Kui ei, siis ilmselt on G-st midagi vajalikku puudu.
Kolmekümnendatel aastatel tõestas Kurt Gödel enamikule selleaja loogikutele ootamatult ühe praeguseks kuulsaima loogikateoreemi üldse: teoreemi mittetäielikkusest. Nimetatud teoreem näitab, et aritmeetikat ei saa taandada loogikale. Konkreetselt: ei ole olemas lõplikku baasväidete kogu G, millest saaks tuletada kõiki aritmeetikateoreeme. Ükskõik kui palju baasväiteid aritmeetika kohta me ka G-sse ei võtaks, alati leidub matemaatiliselt õigeid aritmeetikateoreeme, mida sellest G-st tuletada ei saa: nende jaoks tuleb hulk uusi tõeseid baasväiteid S lihtsalt juurde võtta. Seda saab muidugi teha: võtame uue baasväidete hulga S lisaks, ning nüüd saame vajaliku teoreemi tuletada. Paraku aga leidub seejärel ikkagi aritmeetikateoreeme, mille jaoks ei piisa ka uuest täiendatud baasväidete hulgast. Jne jne: baasväidete hulk ei saa kunagi kõigi õigete aritmeetikateoreemide tuletamiseks piisavalt suureks.
Kui juba aritmeetikat ei saa lõpliku hulga baasväidete abil aksiomatiseerida, siis loomulikult ei saa seda teha ka enamike teiste matemaatikaharude jaoks. Samuti ei saa aksiomatiseerida paljusid muid, matemaatikast täiesti erinevaid mõtlemisvaldkondi, mis tegelevad lõpmatute struktuuridega.
See ei tähenda samas, et loogikavahendid oleksid aritmeetika või muude keerulisemate valdkondade juures kasutud: reeglina piisab meile huvi pakkuvate väidete tõestamiseks siiski suhteliselt väikesest hulgast harilikest elementaaraksioomidest. Juhud, kus neist ei piisa, on küll olemas, kuid praktikas väga haruldased.
Loogikateaduse uurimisvaldkonnaks ei ole mitte niivõrd keeruliste loogiliste tuletuste mehaaniline sooritamine, kui mõtlemise fundamentaalsete meetodite ja piiride uurimine. Gödeli teoreem mittetäielikkusest on üks loogikateaduse resultaatide ilusamaid näiteid.
Mida mittetäielikkus ehk aksiomatiseerimise võimatus meile ütleb? Ilmselt seda, et enamikku tõdesid (me mõtleme siinjuures ka absoluutseid, paratamatuid, matemaatilisi tõdesid) ei saa tuletada ühestki väikesest konkreetsest baasväidete hulgast. Mõtlemise jaoks ei ole olemas kindlat lõplikku alust, millest kõik muu loogiliselt tuleneb. Mida keerulisemaid väiteid me tõestada tahame, seda suurema hulga ja seda keerulisemate baasväidete tõesust peame uskuma. Maailm on tõepoolest väga ebakindel: mõtlemise baas on tõestusteta uskumine.
Keskajast pärineva legendi järgi leiutas loogika Kreeka filosoof Parmenides (5 sajand e.m.a.) Egiptuses kaljurüngaste vahel. Tegelikult Parmenides loogikat siiski ei leiutanud, st arutluste struktuuri kui sellist ta ei käsitlenud. Küll aga põhjendas Parmenides oma filosoofilisi vaateid pikkade arutluste abil. Oletatakse, et Parmenidese väitlusmeetod pärineb kokkupuutest Pütagorase koolkonna matemaatikaga.
Parmenidese õpilane Zenon Eleast (5 sajand e.m.a.) astus oma õpetajast sammu kaugemale ja põhjendas Parmenidese vaateid kuulsate Zenoni paradokside ehk apooriate abil, milles ta justkui näitas, et ruumi ja liikumist pole tegelikkuses olemas. Kuulus apooria, mis demonstreerib liikumise võimatust: te väidate, et liikumine on olemas, seega saab kõndida mööda teed punktist A punkti B. Enne punkti B jõudmist peate läbima pool teed, s.o. punkti C. Liikudes punktist C edasi B suunas peate jällegi läbima pool teed C ja B vahel, s.o. punkti D. Liikudes punktist D edasi B suunas peate jällegi läbima pool teed, jne jne. Seega jääb teil alati läbida pool mingist teelõigust ja te ei jõua kunagi punkti B. Zenoni paradokside loogiline struktuur oli väite põhjendamine väite vastandist absurdsete järelduste tuletamise teel: nn. reductio ad absurdum.
Väidete põhjendamise ning ümberlükkamise kunsti arendasid edasi varased retoorikud ja sofistid. Tuntumad neist olid 5. sajandil e.m.a. elanud Gorgias, Hippias, Prodicus ja Protagoras. Sofistid ei tegelenud küll väitluse tehnika uurimisega, kuid nad nõudsid näiteks, et moraalipõhimõtteid tuleb ratsionaalselt põhjendada.
Sofistide traditsiooni kandsid edasi Sokrates (470-399 e.m.a) ja Platon (428/427 - 348/347 e.m.a). Platoni kirjutistes ilmub esimest korda tähelepanek väitluse struktuurist kui iseseisvast uurimisobjektist.
Loogika kui väitluse struktuuri uuriva omaette teaduse rajas Platoni õpilane Aristoteles (384-322 e.m.a.). Sofistlike vastuväidete lõpus kinnitab Aristoteles oma teerajaja rolli ise: ``Deduktsiooni alal ei olnud varasemast olemas üldse mitte midagi.''
Aristotelese loogikaalased kirjutised koosnevad kuuest teosest koondnimetusega Organon (tööriist). Aristotelese jaoks ei olnud loogika mitte üks teoreetilistest teadustest (need olid füüsika, matemaatika ja metafüüsika), vaid tööriist kõigi teaduste jaoks.
Aristotelese poolt väljatöötatud spetsiifilist loogikasüsteemi nimetatakse sageli mõisteloogikaks ehk terminite loogikaks. Vaatleme väiteskeemi ``kui iga b on a ja iga g on b, siis iga g on a''. a, b ja g on siin muutujad, st. formaalsed kohatäitjad. Iga väide, mis nimetatud struktuuri sobib, on korrektne süllogism. Muutujate asemele saab paigutada konkreetseid mõisteid või nimesid. Asendades a sõnaga ``asi'', b sõnaga ``loom'' ja g sõnaga ``koer'', saame: ``kui iga loom on asi ja iga koer on loom, siis iga koer on asi''.
Aristoteles võttis loogikas kasutusele muutujad: see alusidee võimaldas luua süsteemi, mis jäi loogika vundamendiks Euroopas kuni 18. sajandini.
Aristotelese loogika käsitleb väiteid, mis koosnevad järgmistest grammatilistest komponentidest: (1) kvantor (``kõik'', ``mõni'', ``mitte ükski''), (2) subjekt, (3) koopula, (4) eitus, (5) predikaat. Niisugusi väiteid nimetatakse ``kategoorilisteks väideteks'' ja nad jagunevad kaheksaks liigiks:
Liike 1-4 loeti teistest olulisemaks. Üldjuhul ignoreeris süllogistika liike (7) ja (8). Liigid (5) ja (6) loeti ekvivalentseteks liikidega (3) ja (4). Keskajal hakati liike 1-4 nimetama tähtedega: A, E, I, O.
Aristoteles defineeris süllogismi kui väitluse, kus mingitest etteantud väidetest (eeldustest) järeldub paratamatult uus väide. Konkreetselt vaatles ta ainult selliseid süllogisme, milles olid antud kaks eeldust, nendest tuletati üks järeldus ja nii eeldused kui järeldus olid kategoorilised väited.
Taolisi süllogisme saab moodustada neljal viisil (neli nn. figuuri), millest Aristoteles käsitles ainult kolme esimest. Tõestamaks süllogistiliselt, et a on g, tuleb leida selline b, et üks järgmistest variantidest kehtiks:
Nelja väideteliiki A,E,I,O saab nelja figuuri abil kombineerida kokku 256. erineval viisil ja ainult 24 nendest viisidest annavad õige süllogismi: 6 tükki iga figuuri jaoks.
Keskaja skolastilises traditsioonis oli Aristotelese loogikal tähtis koht ja nimetatud 24 õige süllogismi jaoks leiutati järgmised meelespidamist hõlbustavad nimed (rühmitatud figuuride kaupa):
Täishäälikute järjekord nimes määrab kategooriliste väidete jaärjekorra süllogismi moodustamisviisis, eeldustega alustades ja järeldusega lõpetades.
Süllogismid Baroco ja Bocardo on tõestatavad ainult kaudselt, reductio ad absurdum'i abil. Kõik teised süllogismid figuurides 2-4 saab taandada figuurile 1. Süllogismi esitäht ja nimes esinevad tähed s, p, m ja c määravad ära taandamismeetodi:
Süllogismi nimed jätavad ütlemata, millisesse figuuri süllogism kuulub; viimase tarvis leiutati keskajal meelespidamist hõlbustavad värsid.
Lisaks mainitud kategoorilistele väidetele huvitasid Aristotelest ka modaalsed väited: ``a on kindlasti b'' ja ``a on võibolla b''.
Kaasaja kontekstis saab Aristotelese loogikat vaadelda kui predikaatarvutuse oluliselt piiratud, lahenduvat varianti. Tasub tähele panna, et Aristoteles ei tegelenud lausete loogilistest sidesõnadest (ja, või, ei, järeldub) moodustuva struktuuri - lausearvutuse - uurimisega.
Peale Aristotelesest jätkas Ateena koolkonna juhtimist Theophrastus Ersesusest (371-286 e.m.a.). Kõik Theophrastuse teosed on kaduma läinud, kuid sellegipoolest on tema ning ta kaasaegse ja kolleegi Eudemuse tegevusest küllalt palju teada.
Theophrastus jätkas Aristotelese uuringuid modaalsuste alal, tõi Aristotelese süllogistikasse uue väidetetüübi ja kombineeris mõisteloogikat lausearvutuse elementidega, vaadeldes süllogisme nagu ``kui a, siis b; kui b siis g; järelikult, kui a siis g''.
Kreeka geomeetri Eukleidese (430-360 e.m.a.) õpilased Diodorus Cronus (4. saj, e.em.a) ja Philon tegelesid loogiliste mõistatustega. Väidetavalt avastasid nad nn. valetaja paradoksi: ``Ma ütlen, et ma praegu valetan. Kas minu väide on õige või vale?''.
Sarnaselt Eukleidese õpilastele ning viimastelt mõjutusi saades tegelesid stoikud paradokside, absurdi ja vasturääkivustega. Peamiseks huviobjektiks oli Aristolese jaoks varju jäänud lausearvutus. Stoikud uurisid, kuidas saab loogiliste sidesõnade (ja, ei, või, kui...siis) abil lihtsamatest lausetest keerulisemaid kokku panna ja kuidas näidata selliselt moodustatud lausete õigsust.
Erinevalt Aristotelesest, kes kasutas oma loogikas muutujatena kreeka tähti, tarvitasid Stoikud muutujatena numbreid. Näiteks: ``Kas esimene või teine; mitte teine; järelikult esimene''. Kuulsaim loogik stoikude seast, Chrysippus (279-206 e.m.a), kinnitas, et järgmised viis väiteskeemi on elementaarsed ehk mittetõestatavad ning kõik õiged väiteskeemid on nendest tuletatavad (lisatud on tõlge kaasaegse lausearvutuse keelde):
Neist viiest aksioomist tuletas Chrysippos veel suure hulga õigeid väiteskeeme. Paraku on ekslik Chrysippose kinnitus, et kõik õiged väiteskeemid on nimetatud viiest tuletatavad.
Keskaegsed ja hilisemad loogikatekstid kommenteerisid nii Aristotelese mõisteloogikat kui Stoikute lausearvutust. Peale Chrysippost kirjutati Kreekas küll mitmeid kommentaare Aristotelese ja Chrysippose teostele, aktiivne loogikauurimine aga jäi soiku.
Kreeka loogikatraditsiooni kanti ladinakeelsesse maailma hulga tõlgete abil, olulisemad olid seejuures Cicero (106-43 e.m.a), Marius Victorinuse (4. sajand) ja Martianus Capella (5. sajand) tõlked. Keskaja mõjukaimaks autoriks peetakse Boethiust (480-524/525), kes tõlkis ladina keelde Aristotelese senitõlkimata teosed ning kirjutas neile kommentaare ja lisandusi. Enne 12. sajandit Euroopas iseseisvat loogikaalast uurimistööd ei tehtud, ning kuni 12. sajandini olid Boethiuse teosed olulisim loogikaalane kirjandus Euroopas.
Stoikute ja 12. sajandil Euroopas toimuva loogika taassünni vahele jääva perioodi tähtsamad loogikaalased teosed araabiamaailmas. Umbkaudu 850. aastaks olid Aristotelese ja Porphyriose peateosed araabia keelde tõlgitud, ning Bagdadi koolkonnas hakati kirjutama loogikaalaseid originaalteoseid. Peamised 9. sajandi autorid olid al-Kindi (805-873) ja Muslim al-Farabi (873-950). Suure osa Bagdadi koolkonnast moodustasid nestoriaanlikud ja jakobiitlikud kristlased.
1050. aastaks oli Bagdadi koolkond lagunenud, üldse kahanes 11. sajandil loogika populaarsus araabiamaailmas. Erandiks on Ibn Sina ehk Avicenna (980-1037). Erinevalt varasematest autoritest kirjutas Avicenna uurimusi iseseisvate originaaltekstidena, mitte kui kommentaare Aristotelese tõlgetele. Seejuures kritiseeris Avicenna Bagdadi koolkonda Aristotelese pimeda järgimise eest. Avicenna tööd jätkas teoloog al-Ghazali ehk Algazel (1058-1111).
12. sajandi olulisim araabia loogik oli Hispaanias elanud Ibn Rushd ehk Averroes (1126-1198). Bagdadi koolkonna eeskujul kirjutas Averroes Aristotelese teoste kommentaare, ning nende mõjukuse tõttu viidati Averroesele hiljem sageli lihtsalt kui ``Kommentaatorile''. Averroese järel algas läänepoolsetes islamimaades loogika allakäik, põhjuseks islami fundamentalismi negatiivne suhtumine loogikasse ja filosoofiasse. Idapoolsetes islamimaades (näiteks Pärsias) suhtuti loogikasse al-Ghazali eeskujul pigem kui tööriista, mida muuseas saab oma filosoofiavastastes rünnakutes kasutada ka islami teoloogia. Seetõttu jätkati Pärsias käsiraamatute ja kommentaaride kirjutamist, iseseisvate loogikauurimustega aga ei tegeldud.
Canterbury Anselm (1033-1109) kasutas oma tuntud teoloogiaalastes teostes antiikajast tuntud loogikameetodeid ning rajas sellega eriti katoliikluses hiljem väga t\"htsaks muutunud teoloogilise traditsiooni.
Otseselt loogikaga Anselm palju ei tegelenud, küll aga tegi seda Peter Abelard (1079-1142). Boethiusest ja Anselmist mõjutatud Abelard tõstis oma kommentaaridega Aristotelese ning Porphyriose klassikalistele tekstidele keskaegse loogikauurimise senisest palju kõrgemale tasemele.
Aristotelese muidu suhteliselt väheoluline teos Sofistlikud vastuväited sobis hästi 12. sajandi teoloogiasse: tegu oli väikese kataloogiga praktilises arutluskäigus tehtavatest loogikavigadest ning nende vältimisest. Suurem hulk 12. ja 13. sajandi loogikakirjandust (nn uus loogika) on pühendatud Sofistlike vastuväidete edasiarendamisele ning rakendustele teoloogias ja füüsikas.
13. sajandi tuntumateks teosteks on olemasoleva loogikakirjanduse kokkuvõtted ja olulisemad autorid on Petrus Hispanus - hilisem paavst Johannes XXI - ning John duns Scotus (1266-1308). Kuulsaim autor on kahtlemata katoliikliku teoloogia alustala Aquino Thomas, kes vaatamata hulgale ratsionaalsetele jumalatõestustele printsiibil, et miski ei saaks olla olemas, kui poleks alguspunkti, kirjutas otseselt loogikast siiski ainult kaks vähetähtsat teost.
Keskaegse loogika hiilgeajaks loetakse 14. sajandi esimest poolt ja keskusteks Oxfordi ning Pariisi Ülikooli. Esimeses kirjutas William Ockhamist (1285-1347), tuntud kui``Ockhami habemenoa'' printsiibi autor, mõjuka Summa logicae. Samuti Oxfordiga seotud Walter Burley teos De puritate artis logicae oli Ockhami suhtes ülikriitiliselt meelestatud. Mõjukaim selleagne Pariisi loogik oli Jean Buridan.
Renessans tähendas loogika jaoks lahtiütlemist keskaegsest, otse Aristoteleselt lähtuvast skolastilisest loogikast. Hakkas sündima uus, matemaatikaga sidet leidev sümboolne loogika. Viimasest jooksebki veelahe antiik- ja keskaegse ning tänapäevase loogika vahel.
Õhus olevad, siin-seal väljendatud ideed täpsest, universaalsest sümbolkeelest ning selle keele abil tehtava arutlemise matematiseerimisest ja mehhaniseerimisest ei jõudnud enne 19. sajandi keskpaiku aga mingisugustegi praktiliste tulemusteni peale lihtsate, ebasüstemaatiliste sümbolsüsteemide loomise.
Renessanssi seostatakse kreeka-rooma klassikute ausse tõstmisega, kuid samas oli renessansiaegsete kirjanike hulgas kombeks põlata Aristotelesest lähtuvat, möödunud sajandite ``steriilset'' skolastilist loogikat. Martin Lutherit olevat ärritanud mistahes viide Aristotelesele.
Esimese mitte-ladinakeelse loogikateose Euroopas kirjutas 1555. aastal Petrus Ramus ehk Pierre de la Rame. Dialectique ja hilisem ladinakeelne Dialecticae libri duo ründasid skolastilist loogikat ning tegelesid kategooriliste süllogismide lihtsustamisega, lähtumata seejuures Aristotelest. Ramuse meetoditele oli üles ehitatud Arnauld' ja Pierre Nicole 1662. aastal avaldatud ning Port-Royali loogika nime all tuntuks saanud ja laialt kasutatud teos La Logique ou l'art de penser. Port-Royali loogika sisaldab Blaise Pascalist mõjustatud diskussiooni definitsioonidest, kus eristatakse nominaalseid ja reaalseid definitsioone. Filosoofiline diskussioon nominalismi ja realismi üle oli tuline juba 14. sajandil. Seejuures rõhutab Pascal matemaatiliste definitsioonide nominaalset ja pragmaatilist iseloomu.
Skolastilise loogika traditsioon siiski säilis, peamiselt muidugi katoliiklikes ülikoolides ning katoliiklikes riikides - Hispaanias ja Itaalias.
Kolmanda loogikasuuna rajajaks sai Hispaania seikleja ning müstik Ramon Lull (1235-1315). Aastal 1501 ilmunud Ars magna, generalis et ultima püüab esitada kontseptsioone sümbolite keeles ning tuletada väiteid variantide kombineerimise teel. Lulli ideed ning nendega kaudselt seotud kabalistlikud müüdid mõjutasid hilisemaid suurkujusid Pascali ja Leibnizit.
17. sajand oli aeg, mil tänu sümbolite ja sümbolkeele kasutuselevõtmisele tehti väga suuri edusamme matemaatikas. Samasuguseid sümbolsüsteeme püüti luua ka loogika jaoks.
17. sajandi universaalne suurkuju Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) lõi 1680. aastatel loogikasüsteemi, mis on vägagi sarnane George Boole'i süsteemiga aastast 1847. Ometigi loetakse matemaatilise ja sümbolloogika rajajaks just Boole'i, mitte Leibnizit. Üksikud erandid välja arvatud, polnud Leibnizi loogikaalastel ideedel ning avastustel järgneva kahe sajandi jooksul praktiliselt mõju.
Mõjutatuna nii Ramon Lulli ideedest kui matemaatika arengust püstitas Leibniz ülesande luua universaalne sümbolkeel (lingua characteristica universalis) ja seda keelt kasutav nn ``arutlemise aritmeetika'' (calculus rationator), mille abil saaks algoritmiliselt või mehaaniliselt tuletada uusi t~eseid väiteid ja kontrollida arutluste korrektsust. Leibniz oletas, et niisuguseid tuletusi ja kontrolle saaks teha spetsiaalse masina abil.
Leibniz ei olnud ainus, kes taolisi eesmärke püstitas. Jakob Bernoulli, hiljem ka Gottfried Ploucquet (1716-1790) ning matemaatikud Johann Heinrich Lambert (1728-1777) ja Leonhard Euler (1707-1783) pakkusid välja sama laadi ideid. Paraku ei suutnud ei Leibniz ega ükski teine mainitutest konstrueerida loogika jaoks vähegi rahuldavat sümbolkeelt, arutlemise aritmeetikast rääkimata.
Gottfried Ploucquet ehitas Leibnizi ideedel, kuid mitte Leibnizi süsteemil baseeruva lausearvutuse sümbolsüsteemi. Ploucquet tõi sisse kvantorid ``iga ...'' ja ``on olemas ...'', tõsi küll, suhteliselt kohmakal ja piiratud viisil. Johann Heinrich Lambert konstrueeris, tõenäoliselt Leibnizist sõltumatult, Leibnizi süsteemiga sarnase sümboolse loogikasüsteemi, kus ta tõi olulise uuendusena sisse matemaatikast tuttava funktsiooni mõiste ja kasutas seda mitmekohaliste suhete (nagu näiteks ``A on B isa'') tähistamiseks.
Ülimõjukad Saksa filosoofid Immanuel Kant (1724-1804) ja Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) tegelesid muu hulgas samuti sümboolse loogikaga, kuid üpris vähesel määral. Puhta mõistuse kriitikas viitab Kant loogikale kui lõpetatud, valmis tehtud konstruktsioonile. Kanti loengud loogikast tegelevad peaaegu ainult loogika ajalooga. Hegel kinnitab oma monumentaalses teoses Loogika, et senised loogikauuringud on olnud ``tehnilised manipulatsioonid'' ning asub seejärel uurima loogika ``sisu'' vastandades seda ``vormile''. Ei Kant ega Hegel tegelenud kuigivõrd sümboolse, matemaatilise loogikaga. Sellegipoolest on Kanti ja Hegeli fundamentaalsed filosoofilised teosed puhta mõistuse analüüsidega väga olulised loogika, sh sümboolse loogika, hilisema arengu jaoks.
Kaasaegsele loogikale panid aluse George Boole'i, Augustus de Morgani, Gottlob Frege ja teatud mõttes ka Georg Cantori tööd 19. sajandi keskel ning teisel poolel. ``Päris kaasaegsest'' loogikast saab rääkida küll alles 20. sajandi 40. aastatest, alusmõisted ja printsiibid olid aga loodud juba 19. sajandi lõpuks. Kaasaegsele loogikale pandi alus seega märgatavalt hiljem kui kaasaegsele matemaatikale.
Inglise matemaatiku George Boole'i (1815-1864) kaks peamist loogika-alast tööd on Loogika matemaatiline analüüs aastast 1847 ja Mõtlemise reeglid aastast 1854. Eriti esimene neist avaldas suurt mõju loogika järgnevale arengule. Nimelt rakendas Boole värskeid ideid matemaatilisest algebrast otse loogikale, ehitades üles loogika algebra, mida sageli nimetataksegi Boole'i algebraks Kaugemaks eesmärgiks pidas Boole nagu Leibnizki loogika keele väljaarendamist ja "mõtlemise aritmeetika" ehitamist. Erinevalt Leibnizist ja teistest varasematest loogikutest andis Boole süsteemse, matemaatilise kuju niisuguse keele baasfragmendile - lausearvutusele.
Nagu öeldud, annab Boole' algebra lausearvutusele süstemaatilise, kuid mitte veel rangelt aksiomaatilise kuju. Samuti ei jõua Boole lausearvutusest kaugemale, suhteid ja omadusi kirjeldava predikaatarvutuse juurde - seda teeb 1879. aastal Frege.
Kõigi asjade klassi (nimetades seda Universumiks) tähistas Boole numbriga 1. Tühja klassi tähistas number 0. Kõrvutiseisvad avaldised (näiteks AB) tähistasid avaldiste ühisosa ehk "ja"-tehet. A+B tähistas avaldiste ühendust ehk "või"-tehet, paraku aga piirangutega: A-l j B-l ei tohtinud olla ühisosa - kui neil oli mõni ühine element, siis oli A+B defineerimata. A-B tähistas B elementide eemaldamist A-st. Loogika algebra reeglid on Boole'il järgmised: 1A = A, 0A = 0, A+0 = A, A+1 = 1 (ainult juhul kui A = 0: Boole kartis reeglit 1+1 = 1 - ühisosaga hulkade summat polnud tal ju määratletud; aga juba 1860. aastatel teisendasid Peirce ja Jevons +-tehte harilikuks "või"-tehteks, aktsepteerides reeglit 1+1 = 1), A+B = B+A, AB = BA, AA = A (kuid mitte A+A = A, jällegi ühisosaga hulkade summa määramatuse tõttu), (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB+AC ja A+(BC) = (A+B)(A+C).
Samaaegselt Boole'i esimese teosega avaldas Augustus de Morgan (1806-1871) raamatu Formaalne loogika. De Morgani formaalne süsteem on oma sisu poolest Boole'le küllalt sarnane, vormilt aga teistsugune ja kohmakas. Erinevalt Boole'ist ei olnud Morgan ka kuigi huvitatud loogika matematiseerimisest. Morgani käsitluse juures on olulisemad järgmised punktid:
Sajandi viimasel kolmandikul töötasid Boole'i ja de Morgani süsteemide edasiarendamise ning kombineerimise kallal ameerika filosoof ja loogik Charles Sanders Peirce (1839-1914) ning saksa matemaatik Ernst Schröder.
Saksa matemaatiku Gottlob Frege (1848-1925) 1879. aastal avaldatud lühikest teost Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") võib julgelt nimetada 19. sajandi olulisemaks loogikaraamatuks. Selles raamatus esitab Frege kogu kaasaja loogika fundamentaalseima süsteemi, nn. esimest järku predikaatarvutuse. Predikaatarvutus baseerub lausearvutusel, predikaatidel ja kvantoritel ``iga x jaoks kehtib ...'' ning ``on olemas selline x, et ...'', võimaldades kirjeldada asjade omadusi ja omavahelisi suhteid. Teatud mõttes on võimalik öelda - Wittgensteini parafraseerides -, et kõike, mida saab rangelt kirjeldada, saab kirjeldada predikaatarvutuse keeles. Viimane väide ei tähenda seda, et predikaatarvutuse keel on alati kõige praktilisem, selgem või mugavam meetod ükskõik mille rangeks kirjeldamiseks, vaid et teoreetiliselt on iga range kirjeldus predikaatarvutuse abil kirja pandav.
Frege antud konkreetne predikaatarvutuse esitus on raskesti loetav ja hoopis teistsugune, kui kaasaegsed esitused. Põhimõtted on sellegipoolest samad. Ka ei esitanud Frege oma süsteemi aksiomaatilisel kujul ega tuletanud kaasaegse predikaatarvutuse jaoks olulisi metateoreeme ehk süsteemi ennast, tema võimalusi ja puudujääke käsitlevaid tulemusi: nendeni jõuti alles 20. sajandi esimesel kolmandikul.
Frege tähtsus ei piirdu ainult predikaatarvutuse loomisega. Peale 1879. aastat kirjutas ta sarja mõjukaid artikleid, alustades kõigepealt Boole'i kritiseerimisega (Frege ei olnud teadlik Peirce'i ja Schröderi parandustest ning täiendustest Boole'i algebrale). Frege kindel seisukoht oli, et kogu matemaatika saab taandada elementaarsetele loogikareeglitele, st loogikareeglite abil saab tuletada ükskõik millise tõese matemaatikateoreemi. Viimases osas ei olnud Fregel päriselt õigus, kuid tema seisukoha ümberlükkamiseni jõuti alles 1931. aastal Gödeli teoreemiga mittetäielikkusest. Vastandina Inglismaal levinud nominalistlikele ja empiritsistlikele ideedele toetas Frege Saksamaal tavapärasemaid realistlikke vaateid. Frege seisukoht matemaatika ja loogika vahekorrast arenes hiljem oluliseks filosoofilise loogika suunaks nimega logitsism.
Frege süsteemi ja logitsistlikud vaated võtsid oma töös aluseks 20. sajandi alguse mõjukaimad loogikud Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead; seejuures ei kasutanud nad aga mitte Frege kirjaviisi, vaid pigem Boole'i kirjaviisi edasiarendust. Frege filosoofilised ideed avaldasid hiljem olulist mõju Georg Hilbertile ja Ludwig Wittgensteinile, ning on aktuaalsed ka praegu.
Taani päritolu ja St. Peterburgis sündinud saksa matemaatik Georg Cantor (1845-1918) loogikaga ei tegelenud, kuid koos Richard Dedekindiga peetakse teda hulgateooria rajajaks. 20. sajandil muutus Cantori hulgateooria pea kogu matemaatika baasiks: nimetatud teooria olulisus seisneb lõpmatute hulkade käsitlemises. Cantor näitas, et lõpmatud hulgad pole sugugi kõik sama ``suured'' ehk ühesuguse võimsusega, vaid et lõpmatus peidab endas kirjeldamatult keerulist struktuuri erineva ``suurusega'' lõpmatustest.
19. sajandi viimastel aastatel märkas Cantor, et tema näiliselt selge ja vastuvaidlematu hulgateooria lubab tuletada vastuolulisi väiteid ehk paradokse. Cantori paradoks on järgmine: Vaatleme kõigi hulkade hulka ja tähistame selle tähega M. Cantori teoreemi järgi on suvalise hulga X kõigi alamhulkade hulga võimsus (see tähendab lõpmatu hulga puhul tema `suurust'') suurem kui X-i võimsus. Seega on ka M-i kõigi alamhulkade hulga võimsus suurem kui M-i võimsus. Teisest küljest aga, kuna M on kõigi hulkade hulk, peab M sisaldama elemendina iga oma alamhulka, seega ei saa M-i võimsus olla väiksem kui tema kõigi alamhulkade hulga võimsus (sest viimase kõik elemendid on ka M-i elemendid). Paradoksi põhjuseks on meie hüpotees, et eksisteerib abstraktne kõigi hulkade hulk M. Selgub, et matemaatikas võib piiranguteta abstraheerimine viia vastuoludeni.
Paradokside avastamine hulgateoorias sundis matemaatikuid suhtuma kogu matemaatika-aparatuuri kriitiliselt ja suure ettevaatusega. Kriitika matemaatika aluste suhtes ja hulgateooria ise muutusid 20. sajandi loogika üheks peamiseks komponendiks ning tõukejõuks.
19. sajandil ei aktsepteeritud loogikat akadeemilistes ringkondades täisväärtusliku teadusena. Sajandilõpu edusammud kulmineerusid aga suurejooneliselt 1900. aasta augustikuus Pariisis ja\"rjestikku peetud esimese rahvusvahelise filosoofiakongressi ja teise rahvusvahelise matemaatikakongressiga, kus loogika, filosoofia ja matemaatika lähenemine sai uue, olulise tõuke. Matemaatikakongressil esitas David Hilbert kuulsad 23 fundamentaalprobleemi, mis suunasid loogika arengut 20. sajandi esimesel poolel. Mainitud kongresside ning Hilberti ja Russelli töö tulemusel muutus loogika akadeemiliselt aktsepteeritud distsipliiniks ja hakkas avaldama mõju nii filosoofia kui matemaatika arengule.
Sajandi esimesel kolmandikul oli loogika areng seotud peamiselt matemaatika aluste uurimisega, mille käigus kujunesid välja kolm praeguseni olulist loogilis-filosoofilist koolkonda: logitsism, formalism ja intuitsionism. Gödeli ning Churchi negatiivsed resultaadid 1930. aastatel hakkasid aga matemaatikute huvi loogika vastu vähendama, ning praegusajal ei ole puhta matemaatikaga tegelejate seas loogika kuigivõrd tuntud või huvipakkuv ala.
Paralleelselt matemaatikute huvi vähenemisega muutus loogika üha olulisemaks analüütilistele filosoofidele - sajandi keskpaiga suurkujudest nimetaksime Carnapit, Lukasziewiczit, Wittgensteini ja Kripket. Nimetatud arenguga seoses hakati välja töötama mitmesuguseid uusi mitteklassikalisi loogikaid.
Elektronarvutite leiutamine sajandi keskel ja majanduse, teaduse ning ühiskonna süvenev arvutiseerimine andsid loogikateadusele uue võimsa tõuke. Viimaste kümnendite jooksul on loogika areng olnud üha enam seotud arvutiteadusega, ning vastupidi. Loogika ja teoreetiline arvutiteadus on muutunud vastastikku üksteisest sõltuvaks ning mitmete konkreetsete valdkondade puhul raskesti eristatavateks. Tehisintellektiteaduse problemaatika kaudu tuleb neile kolmanda olulise komponendina juurde analüütiline filosoofia.
Inglise filosoof ja loogik Bertrand Russell (1872-1970) oli ebaharilikult laia huvisfääriga mõtleja. Aastal 1950 pälvis Russell oma esseistika eest Nobeli preemia, lisaks oli Russell tuntud kui patsifismi propageeriv poliitiline aktivist.
Loogika ajaloos seostub Russelli nimi filosoofi ja matemaatiku Alfred North Whiteheadiga (1861-1947): Russell ja Whitehead avaldasid aastatel 1910-1913 kolmeosalise suurteose Principia Mathematica, mis võttis kokku Frege, Cantori ja Peano hiljutised tulemused ning arendas neid kaugeleulatuvalt edasi. Sellest sai sajandi esimese poole mõjukaim loogikaraamat, mis on oluline loogika- ja filosoofiaalane tekst praegugi. Principia't läbiv filosoofiline liin - nn. logitsism - on Leibnizist ja Fregest lähtuv ning hiljem Gödeli poolt ümber lükatud püüdlus tuletada kogu matemaatika otse loogikast - niisugusel ühemõttelisel kujul sõnastas logitsismi teesi esimesena Russell.
Matemaatika tuletamist loogikast alustasid Russell ja Whitehead täisarvude teooriast ehk aritmeetikast. 19. sajandi lõpus postuleeris Giuseppe Peano järgmised aritmeetika baastõed, millest loodeti tuletada aritmeetika ning seejärel ehitada sinna peale matemaatiline analüüs, algebra ja muud matemaatikaharud:
Induktsiooniprintsiibi sõnastamisel kasutas Peano mõistet ``väide'' ehk ``omadus'', täpsustamata, mis keeles ja kuidas selliseid väiteid kirja võib panna. Seetõttu ongi tegemist postulaatidega, mitte aga range aksiomaatikaga. Frege väitis, et tal õnnestus Peano postulaadid range, hulgateoorial põhineva aksiomaatikana kirja panna. Russell demonstreeris vastuseks, et Frege aksiomaatika on vastuoluline, st sellest saab tuletada ka valesid väiteid.
Järgnev Russelli paradoks sarnaneb Cantori paradoksiga, kuid on viimasest lihtsam. Moodustame kõigi selliste hulkade hulga, mis ei sisalda iseennast. Tähistame selle hulga tähega T. Küsime nüüd, kas T sisaldab iseennast. Oletame, et sisaldab (T Î T). T definitsiooni järgi (T on selliste hulkade hulk, mis iseennast ei sisalda) ei saa T sel juhul iseennast sisaldada (T \not Î T). Saime vastuolu eeldusega, et T Î T. Oletame nüüd vastupidi, et T ei sisalda iseennast ( T \not Î T). Definitsiooni järgi peaks aga T sel juhul T-d sisaldama (T Î T) mis on vastuolus eeldusega T \not Î T. Seega saime vastuolu mõlemal võimalikul juhul.
Russelli paradoksi võib vaadata kui antiikajast tuttava valetaja paradoksi modifikatsiooni. Russell pakkus lisaks välja järgmise modifikatsiooni. Külas on habemeaja, kes ajab kõigi nende külaelanike habet, kes endal ise habet ei aja. Küsime nüüd, kas habemeajaja ajab endal habet?
Russell ja Whitehead osutasid, et hulgateooria paradoksid ja vastuolud tekivad nõiaringi põhimõttel, ning otsisid meetodit nõiaringi vältimiseks. Principa Mathematica's pakutud lahendus on nn. lihtne tüüpide teooria: igale objektile omistatakse teatud tüüp, ja hulkasid saab moodustada ainult moodustatavast hulgast madalamat tüüpi hulkadest. Nii tekib tüüpide hierarhia. Siis ei saa ka kõigi hulkade hulka üldse moodustada.
Logitsistlike põhimõtete optimistlike kandjatena ei esitanud Russell ja Whitehead Principia's kordagi küsimust, mis viisil nende ehitatud loogikasüsteem võiks piiratud olla või kas on võimalik tõestada selle süsteemi mittevastuolulisust ning universaalsust.
Kahekümnenda sajandi esimese kolmandiku jooksul oli David Hilbert (1862-1943) Saksamaa ehk kõige mõjukam matemaatik. Muuhulgas loetakse tema teeneks funktsionaalanalüüsi rajamist. Matemaatika ja loogika arengut mõjutas tugevasti 1900. aasta matemaatikakongressil Hilberti poolt pakutud loetelu 23 peamisest senilahendamata matemaatikaprobleemist: osa nimetatud probleemidest on praegusajaks lahendatud, osa probleemide jaoks on näidatud, et Hilberti poolt ettekujutatud lahendust ei saagi olla, ning osa probleeme on siiani lahendamata.
Loogikuna soovis Hilbert nagu logitsistidki formaliseerida matemaatika alused range aksiomaatikana, millest saaks siis tuletada kõik matemaatikateoreemid. Erinevalt logitsistidest väitis Hilbert, et matemaatilise mõtlemise objektideks on formaliseerimisel kasutatud sümboolika ja formaalselt esitatud väited ise, mitte aga selle sümboolika ``ettekujutatav'' matemaatiline sisu, ja kuna matemaatika ei ole looduslik objekt, siis ei saa matemaatikast mõelda teisiti, kui abstraktsioonide ehk sümbolite süsteemist.
Sajandialguse kriisi matemaatika aluste osas, sh paradoksite teket lõpmatuse mõiste käsitamisel, püüdis Hilbert lahendada järgmisel viisil:
Selle nn. Hilberti programmi täitmise korral oleksid probleemid matemaatika aluste õigsuse osas mõistagi lahendatud.
Hilberti printsiibiks matemaatika aksiomatiseerimisel oli nn. finitism: vastuloude puudumise tõestamise võimalikkus eeldas konstrueeritava aksiomaatika lõplikku, finiitset iseloomu, st sümbolite abil ei lubatud tähistada lõpmatuid objekte. Lõpmatus oli keelatud abstraktsioon: kõik tuletamissammud, kõik tõestused ja aksioomid pidid olema lõplikud. Vastasel korral ei oleks võimalik teooria mittevastuolulisust usaldusväärselt analüüsida.
1920. aastal alustas Hilbert koos silmapaistvatest loogikutest koosneva rahvusvahelise kolleegide grupiga (Wilhelm Ackermann, Paul Bernays, John von Neumann ja Jacques Herbrand) nimetatud metamatemaatilise programmi täitmist. Algust tehti aritmeetika aksiomatiseerimisega Peano postulaatide baasil. Aastatel 1924-1925 tõestas Ackermann, et oluline alamhulk aritmeetikast on mittevastuoluline, kuid terve aritmeetika jaoks ei suudetud tõestust leida. 1931. aastal näitas Gödel, et Hilberti programm on põhimõtteliselt teostamatu, kuid Hilbert ise ei aktsepteerinud Gödeli resultaatide sellist negatiivset tähendust kunagi.
Kolmandat matemaatikale kindlat vundamenti rajanud koolkonda nimetatakse intuitsionismiks ehk konstruktivismiks. Ülalloetletud kolme koolkonna hulgast on just intuitsionismil oluline koht praegusaja loogikas, iseäranis teoreetilise arvutiteadusega seotud osades. Praegusaja matemaatikute hulgas ei ole intuitsionism seevastu kuigi populaarne.
Lühidalt ja robustselt öeldes on intuitsionismi põhiprintsiip välistatud kolmanda reegli mittetunnustamine: intuitsionist ei aktsepteeri klassikalise loogika reeglit ``A või mitte-A'' (A ÚØA) ega sellega samaväärset eituse eitamise reeglit ``mitte-mitte-A on sama, mis A'' ((ØØA) Û A).
Hollandi matemaatikud Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) ja Arend Heyting (1898-1980) otsisid väljapääsu hulgateooria paradoksidest nõudmisega, et mingi matemaatilise objekti olemasolu tõestamiseks tuleb see objekt konstrueerida või siis näidata, mis viisil täpselt seda objekti konstrueerida saab. Näiteks ei ole teada mingit meetodit kõigi hulkade hulga konstrueerimiseks, järelikult ei ole intuitsionisti seisukohalt sellise hulga olemasolu tõestatud. Samamoodi nõuavad intuitsionistid, et ``A või B'' tõestamiseks tuleb tõestada eraldi kas A või B: üldisest tõestusest, et vähemalt üks neist kehtib, ei piisa. Seetõttu ei aktsepteeri intuitsionistid reeglit A ÚØA, sest üldjuhul pole ju teada, kas mingil konkreetsel juhul on tõestatav A või ØA. Intuitsionistlik loogika ei erine klassikalisest loogikast mitte ainult olemasolu kvantori ning või- ja ja-tehete piiratuse poolest: järgmine klassikalise loogika jaoks tõene ja ainult järeldustehet sisaldav väide (nn. Peirce'i reegel) ei ole intuitsionistlikult tõestatav: ((A ÞB) ÞA) ÞA.
Intuitsionismi filosoofiline tuum on abstraktsete platooniliste tõdede mitteaktsepteerimine: intuitsionisti jaoks on tõde ainult see, mille jaoks on konstrueeritud tõestus. Sellest ka koolkonna nimi - intuitsionism tähistab intuitiivselt selget ja arusaadavat matemaatikat, vastandina näiteks Hilberti formalismile.
Harilikud loogikatehted saavad klassikalisest loogikast hoopis erineva tähenduse. Näiteks on väide A ÚB klassikaliselt õige siis, kui A või B või mõlemad on õiged, ning väide A ÞB on õige siis, kui kas A on vale või B on õige (või mõlemad korraga). Intuitsionistlikult on A ÚB tõestatav (intuitsionistid reeglina ei räägi abstraktsest ``õigsusest'') siis, kui kas A või B (või mõlemad) on tõestatav, ning me teame, milline neist on tõestatav. Väide A ÞB on tõestatav siis, kui A tõestusest saab alati konstrueerida B tõestuse. Eitus ØA on tõestatav siis, kui A tõestusest saab konstrueerida vastuolu.
Seni kui on tegemist konkreetsete lõplike hulkadega, ei erine intuitsionistlik matemaatika klassikalisest. Vahe tekib lõpmatute hulkade, näiteks täisarvude käsitlemisel. Klassikalise loogika järgi kehtib järgmine intuitsionistlikult mittekehtiv väide: üks kahest, kas igal arvul on omadus P või on on olemas arv a, millel seda omadust ei ole. Kuidas saaks suvalise omaduse P jaoks kindlaks teha, kas igal arvul on see omadus P? Ei kuidagi, sest arve on lõpmatult palju ja seetõttu ei ole põhimõtteliselt võimalik neid kõiki läbi kontrollida.
Intuitsionistliku koolkonna alguspunktiks on L.E.J.Brouweri 1907. aastal ilmunud ja oletatavasti Kantist mõjutatud doktoridissertatsioon. Dissertatsiooni ilmumise järel võttis Brouwer ette mammutprojekti matemaatika ülesehitamiseks intuitsionistlikest printsiipidest, s.o. piirangutest lähtudes. Intuitsionistlike tõestuste leidmine on reeglina keerulisem, kui klassikaliste tõestuste leidmine, kuid sellegipoolest suutis Brouwer neid tõestusi leida ja sel viisil näidata, et suur hulk olulist matemaatikat kehtib ka intuitsionistlikust vaatepunktist. Aastal 1918. avaldas Brouwer intuitsionistliku hulgateooria, aastal 1919. intuitsionistliku mõõduteooria ja aastal 1923. funktsiooniteooria.
Kuigi Brouwer rajas intuitsionistliku koolkonna ja ehitas üles suure hulga intuitsionistlikku matemaatikat, ei formaliseerinud ta intuitsionistlikku loogikat. Sellega sai 1930. aastal hakkama Arend Heyting. Intuitsionistlik loogika on klassikalisele väga sarnane, erinevus on (konkreetsest esitusest sõltuvalt) vaid paaris lisapiirangus ehk mõne klassikalise aksioomi keelamises.
Loogikute hulgas on intuitsionism olnud suur ja oluline koolkond Brouwerist kuni tänase päevani. Intuitsionismile annab praktilise rakendusliku väärtuse asjaolu, et mingi objekti olemasolu intuitsionistlik tõestus annab alati algoritmi selle objekti tegelikuks konstrueerimiseks. Seetõttu saab intuitsionistlikku loogikat kasutada arvutiprogrammide automaatseks sünteesimiseks.
Russell ja Whitehead nimetasid loogikaks muuhulgas nii hulgateooriat kui endaleiutatud tüüpide teooriat. Sõna ``loogika'' tähendus oli neil küllaltki laialivalguv. Poola päritolu USA matemaatiku ja loogiku Alfred Tarski (1902-1983) ning Saksa-Austria-USA filosoofi, loogilise positivisti Rudolf Carnapi (1891-1970) tööd tõid udusesse pilti vajalikku selgust. Kuigi sõna ``loogika'' tähendusväli on jätkuvalt üpris avar ja ka kitsamas mõttes ei ole loogikud sugugi ühel nõul, millist formaalset s\ßuteemi võib loogikaks nimetada ja millist mitte, ollakse enam-vähem ühel meelel, et iga formaalne loogikasüsteem peab sisaldama kolme järgmist komponenti: süntaksit, tuletamisreegleid ja semantikat.
Tarski uuris 1920.-1930. aastatel keele, sh. loogika formaalse keele - objektkeele -, ja keelest kõnelemise keele - metakeele - vahekordi, pannes sellega aluse semantika ja mudelite kaasaegsele käsitlusele. Muu hulgas näitas Tarski, et üheski formaalses keeles endas ei ole võimalik väljendada selle keele lausete tõesust. Tõepoolest, oletame, et mingi formaalne keel võimaldab väljendada selle keele lausete tõesust. Siis saab selles keeles kirja panna väite, mille sisu on järgmine: ``see lause on vale''. Jõudsime antiikajast tuttava valetaja paradoksini; nimetatud lause ei saa olla ei tõene ega väär.
Mistahes formaalse keele lausete tõesuse väljendamiseks tuleb appi võtta nimetatud keelest väljendusrikkam formaalne keel.
Aastal 1926 tõestasid Löwenheim ja Skolem nn. Löwenheim-Skolemi teoreemi, millele ülalpool sai juba kaudselt viidatud: semantikas kasutatava maailma osana piisab alati lihtsalt täisarvude vaatlemisest. Teiste sõnadega: ükskõik kui keerulise ainevaldkonna kirjeldamiseks me mingit formaalset keelt kasutame, objektide nummerdamise teel saab selle valdkonna alati esitada täisavudena. Teatavasti kasutatakse matemaatikas ja hulgateoorias täisarvude hulgast veel ``suuremaid'' lõpmatuid hulki; selliste lõpmatute hulkade kõiki omadusi ei saagi ühegi lõpliku keele vahenditega kirjeldada, st nende struktuur võib olla sõna otses mõttes kirjeldamatult keeruline.
Nagu Albert Einstein füüsikas, nii on Austria-USA loogik Kurt Gödel (1906-1978) üks neid väheseid, keda võib ülepingutamist kartmata geeniuseks nimetada.
1930. aastal tõestas Gödel, et praegusaegse loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest.
Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise induktsiooni printsiipi, mis n-ö loob ehk genereerib täisarvud koos kõigi nende omadustega. Kõike, mida üldse kirja panna saab, saab otseselt või kaudselt kirja panna predikaatarvutuse vahendite abil; täisarvude kõigi omaduste hulk ei ole aga üldse lõplikul viisil kirja pandav.
Gödeli kõige kuulsam resultaat on varem mitmel korral mainitud teoreem mittetäielikkusest, avaldatud 1931. aastal: Peano aritmeetika postulaatide range aksiomatiseerimine annab formaalse teooria, millest ei saa tuletada kõiki tegelikult tõeseid aritmeetikaväiteid.
Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi.
Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole tõestatav (see väide ei ütle, et A ei ole tõsi!). Siis ei saa väide A ise olla vale. Tõepoolest, kui A oleks vale, siis A sisu kohaselt peaks A olema tõestatav. Kuna me valesid väiteid tõestada ei saa, siib peabki A olema õige. Kuna A on õige, peab kehtima see, mida A väidab: A pole tõestatav. Tõepoolest, kui A oleks tõestatav, siis oleks A sisu ("A ei ole tõestatav") vale, see on aga, nagu näidatud, võimatu. Kokkuvõtteks, A on õige, aga ei A ega A eitus pole tõestatavad.
Äsjatoodud mitteformaalne arutlus muidugi veel aritmeetika mittetäielikkust ei tõesta. Gödel kodeeris mittetäielikkuse tõestamiseks formaalse aksiomaatika aritmeetikasse. Nimelt saab kogu nimetatud formaalse süsteemi ja kõik väited esitada aritmeetika enda teoreemidena, s.t teoreemidena täisarvude kohta. Seega õnnestub kirja panna aritmeetikateoreem A, mille sisuline tähendus formaalses süsteemis on, et seesama teoreem A ei ole aritmeetika aksiomaatikast tõestatav.
Teoreem A on tegelikult tõene, aga kasutatud formaalsest süsteemist endast teda tuletada ei saa, tarvis on aksioome juurde lisada. Nende lisamise korral ilmnevad uued tõesed, aga mittetõestatavad teoreemid, mille tõestamiseks on tarvis jälle uusi aksioome lisada, jne jne.
Sellest näiliselt ainult aritmeetikasse puutuvast spetsiifilisest teoreemist järeldub, et ühtegi piisavalt keerulist matemaatilist süsteemi ei saa lõpliku hulga aksioomide abil täielikult aksiomatiseerida. Nii ei saa lõpliku aksiomaatika abil aksiomatiseerida ühtegi lõpmatust sisaldavat, piisavalt keerulist süsteemi, olgu siis tegemist matemaatilise või matemaatikavälise süsteemiga.
Mittetäielikkuse tõestamine andis sisuliselt surmahoobi Hilberti formalistlikule ja Russelli logitsistikule programmile kogu matemaatika lõplikuks aksiomatiseerimiseks ning kahandas lõppkokkuvõttes matemaatikute huvi loogika vastu. Nii praktilises kui filosoofilises plaanis tuleb mittetäielikkuse kasutamisse suhtuda siiski ettevaatusega. Esiteks on väga suured ja huvipakkuvad alamhulgad matemaatikat ning matemaatikaväliseid süsteeme siiski lõplikult aksiomatiseeritavad, st loogika ja formaalne aksiomaatika kui praktiline tööriist ei kaota sugugi oma tähtsust: lihtsalt ei saa loota, et mingi lõplik hulk aksioome suudaks kirjeldada absoluutselt kõike. Teiseks ei ole näha fundamentaalset vahet inimese ja formaalse aksiomaatika teoreetiliste võimaluste vahel: ka inimene on piiratud, nii ruumis kui ajas lõplik, ning ei suuda samuti kirjeldada ega lahendada kõike. Inimese võimaluste kohta öeldakse vahel, et inimene suudab teha vigu ja saab just seepärast lahendada ükskõik milliseid probleeme; täringu lisamise teel saab ka formaalse süsteemi vigu panna tegema, ning selline täringuga täiendatud, juhuslikke vigu tegev süsteem suudab samuti ``lahendada'' mistahes probleemi. Mis puutub inimese probleemilahendamise võimetesse ja intuitsiooni, siis tuleb alati meeles pidada, et tegu ei pruugi olla jumalikest sfä\"ridest lähtuva otsese abiga, vaid närvivõrgust paralleelprotsessorina töötava inimaju tundmatute ja reeglina teadvustamata protsessidega, mille kohta, nagu ka kivi kukkumise kohta, ei saa kuidagi öelda, et tegu on millegi a priori loogikavälisega.
Gödeli enda filosoofilised vaated kaldusid matemaatilisse platonismi: ta suhtus täisarvudesse kui objektidesse, mis on tegelikult olemas ning millel on teatud kindlad omadused sõltumata sellest, kas ja millises ulatuses me neid omadusi aksiomatiseerida ja tõestada suudame.
Predikaatarvutuse täielikkus ja aritmeetika ning keerulisemate s\ßuteemide mittetäielikkus on küll kõige kuulsamad, kuid kaugeltki mitte ainsad 20. sajandi loogika fundamentaalsetest teoreemidest, mille autoriks on Gödel. Oma elu jooksul jõudis Gödel publitseerida aukartustäratava hulga artikleid ning käsitleda pea kõiki loogikavaldkondi.
Tuhandeid aastaid on lisaks sõrmedele kasutatud arvutamise juures abiks arvutuspulki, arvelaudu jm. Selliseid abivahendeid ei saa nimetada arvutusmasinateks, sest arvutamise meetodid pidid olema ikkagi kasutaja peas. Esimesed mehaanilised arvutusmasinad leiutati Euroopas 17. sajandil, tuntumad neist on Prantsuse filosoofi Blaise Pascali liitmise-lahutamise masin ning Leibnizi masin, mis suutis lisaks korrutada, jagada ja ruutjuuri arvutada. 1822. ehitas inglane Charles Babbage prototüübi esimese programmeeritava arvuti prototüübi: Babbage' masinale sai kasutaja vabalt ette anta meetodeid, mida mehaaniliselt järgides masin soovitud tulemuseni j~udis.
Esimesi programmeeritavaid elektronarvuteid hakati ehitama 1930. aastate lõpus ja neljakümnendate alguses nii Saksamaal, Inglismaal kui USAs. Paar aastat varem oli loogikutel ja matemaatikutel tekkinud aktiivne huvi arvutite programmeerimise ja algoritmide ning nende üldise teooria vastu.
Teooria jaoks pole tegelikult töötada suutvat arvutit vaja, piisab abstraktselt ettekujutatavast arvutist, mis suudab täita meie poolt etteantud operatsioone. Sellised abstraktsed arvutid ja nende programmeerimise teooria lõid teineteisest sõltumatult ameeriklane Alonzo Church ja inglane Alan Turing (1912-1954) (hiljem oli Turing mõnda aega küll Churchi õpilane).
Aastatel 1935-1937 kirjutas Turing artikli, kus ta kirjeldas väga lihtsat abstraktset arvutit, nn Turingi masinat. Arvuti koosnes lõputult pikast lindist (mälu), kirjutavast-lugevast peast ja seda kirjutuspead juhtivat programmi sisaldavast tabelist. Turingi veendumuse kohaselt sai Turingi masinaga arvutada kõike sedasama, mida ükskõik millise teistsuguse või suurema arvutiga: keerulisemat arvutit saab Turingi masin programmiliselt simuleerida. Tegu on niisiis universaalse arvutiga, nagu on universaalsed ka tegelikult eksisteerivad arvutid.
Turingi eesmärk oli uurida, mida üldse põhimõtteliselt arvutada saab, ning mida ei saa, ehk teiste sõnadega, missuguste lahendust omavate probleemide jaoks eksisteerib lahendamise algoritm. Selleks piisas Turingi veendumust mööda Turingi masina kui universaalse masina teoreetiliste võimaluste uurimisest. Turing tõestas, et tema masina abil ei ole võimalik alati otsustada, kas suvaline predikaatarvutuse keeles kirjutatud väide on õige ja seega predikaatarvutuse reeglitest mehaaniliselt tuletatav või ei. Predikaatarvutus ei ole lahenduv. Mittelahenduvus laieneb predikaatarvutuselt muidugi kõigile süsteemidele, mille kaudu predikaatarvutust esitada saab. Predikaatarvutusest oluliselt lihtsamad loogikasüsteemid on sageli lahenduvad. Juba enne Turingit oli teada, et näiteks klassikaline lausearvutus on lahenduv. On olemas algoritmid, mis suudavad (kui neile piisavalt aega anda) iga lausearvutuse keeles kirjutatud väite kohta öelda, kas see väide on õige ja tuletatav, või vale ja ei ole tuletatav.
Lahenduvuse takistuseks on väited, mis pole tuletatavad: ei saa olla olemas algoritmi, mis suudaks mittetuletatava predikaatarvutuse väite puhul alati õigesti otsustada, et seda väidet tuletada ei saa ja otsingu võib katki jätta. Tuletatavate väidete puhul aga suudab Turing masin tuletuse teoreetiliselt alati leida. Muidugi võib mittetriviaalsete väidete tuletuste leidmiseks sageli rohkem aega kuluda kui universumil vanust.
1936. aastal esitas Alonzo Church minimaalsete vahenditega algoritmikirjutamise- ehk progammeerimiskeele, nn. lambda-arvutuse. Lambda-arvutus erineb kardinaalselt Turingi masinast, kuid teoreetiliselt on neil samasugused arvutamisvõimed: üks on teises algoritmiliselt simuleeritav. Churchi loodud lambda-arvutus on kaasaegsete funktsionaalsete programmeerimiskeelte eellane, ning tema teoreetiline tähtsus praegusagses loogikas ja teoreetilises arvutiteaduses on erinevalt Turingi masinast väga suur. Analoogiliselt Turingile tõestas Church, et lambda-arvutuse abstraktse masina abil ei ole võimalik alati otsustada, kas suvaline formaalse aritmeetika teoreem on formaalse aritmeetika reeglitest tuletatav või mitte.
Churchi nime mainitakse kõige sagedamini seoses nn. Churchi teesiga. Nimelt väitis Church, et ükskõik millise algoritmi saab esitada lambda-arvutuse abil. Sellest teesist tuleneb, et ükskõik millise algoritmi saab esitada ka Turingi masina abil või iga tegelikult kasutatava programmeerimiskeele abil. Tuleb tähele panna, et Churchi tees ei ole teoreem ega ole see tees ka kindlasti õige. Nimelt ei ole võimalik täpselt defineerida loomulikus keeles kasutatava sõna algoritm sisu, näiteks ei saa me kindlad olla, et ühel hetkel ei leita mingit uut ja hoopis eriskummalist, senitundmatut ja ettekujutamatut meetodit, mida siiski algoritmiliseks võib pidada. See on küll äärmiselt ebatõenäone - siiamaani pole kellelgi tekkinud tõsist soovi või võimalust Churchi teesi kuidagi kahtluse alla seada.
Lisaks Churchile ja Turingile tegelesid lahenduvuse problemaatikaga veel päris paljud loogikud: probleemiklasside lahenduvuse uurimine on 20. sajandi loogika klassikaline temaatika, ning praegusajal töötatakse selle teema kallal aktiivselt. Ainult lahenduvuse probleemidega tegelevat spetsiaalset uurimisvaldkonda nimetatakse algoritmi- ehk rekursiooniteooriaks.
Üks suuremaid valdkondi loogikaga seotud lahenduvuse uuringutes on predikaatarvutuse lahenduvate ja mittelahenduvate klasside väljaselgitamine. Nagu öeldud, pole predikaatarvutus tervikuna lahenduv. Kui aga predikaatarvutuse keelt sobivalt piirata, võime saada sellise piiratud võimalustega süsteemi, mis on lahenduv. Juba aastatel 1915-1919, s.t enne Churchi teesi ja lahenduvuse täpse mõiste sissetoomist tõestasid Löwenheim ja Skolem, et kui lubada predikaatarvutuses ainult objektide omaduste, mitte aga nendevaheliste suhete kirjeldamist, s.o kasutada ainult ühekohalisi predikaate, siis selline loogikasüsteem on lahenduv.
Mis puutub loogika ja arvutiteaduse suhetesse, siis see on märksa laiem, kui algoritmi- ja rekursiooniteooria problemaatika. Viimane pakub peamist huvi loogikasiseselt ja filosoofilisest vaatepunktist, praktilise arvutiteaduse seisukohalt on lahendamatuse eri astmeid ja lahendamatuse struktuuri uurivad algoritmiteooria sfäärid suhteliselt vähem huvitavad. Iga konkreetse probleemiklassi lahendatavuse/mittelahendatavuse probleem ise on arvutiteaduse jaoks siiski väga oluline, sest lahendatavuse tõestamine annab "kõrvalproduktina" enamasti kaasa lahendusalgoritmi enda.
Analüütiline filosoofia tekkis sajandivahetuse Inglismaal reaktsioonina seni domineerinud, Hegelilt pärit idealismile. Alusepanijateks peetakse filosoofe Bertrand Russelli ja George Edward Moore'i (1873-1958). Russell nimetas oma vaateid loogiliseks atomismiks, ning need vaated kujunesid välja koostöös Wittgensteiniga viimase varasemal tegevusperioodil.
Kaasaegse analüütilise filosoofia kõige radikaalsemaks ja ehk kõige mõjukamaks suunaks kujunes Hume'ist ja Russelli-Whiteheadi loogikast inspireeritud loogilise positivismi ehk loogilise empirismi koolkond. Vormiliselt pandi loogilise positivismi koolkonnale alus 1926. aastal Moritz Schlicki seminarides Viini ülikoolis, ning koolkond püsis Viini ringi nimetuse all kuni 1938. aastani. Viini ringi olulise liikmena võib nimetada Austria-USA semantikut ja filosoofi Rudolf Carnapit (1891-1970).
Loogilise positivismi peamiseks tulemuseks on filosoofia kui sellise rolli muutumine. Loogilised positivistid nõudsid, et filosoofia peab olema teaduslik ja keeruliste maailmapiltide asemel tuleb produtseerida selget mõtlemist. Kuigi suurem osa filosoofiat seepärast veel eriti teaduslikuks ei muutunud, hakkasid ometigi tekkima teaduslikkust oluliseks pidavad koolkonnad. Filosoofia taustsüsteem nihkus.
Viini ringiga tihedalt seotud Austria-Inglise filosoof Ludwig Wittgenstein (1889-1951) kirjutas oma Loogilis-filosoofilises traktaadis (selle traktaadi uurimine oli Viini ringi algusaastate üks põhitegevusi): ``Filosoofia eesmärk on mõtlemise loogiline selgitamine. Filosoofia on tegevus, mitte teooria. Filosoofiline teos koosneb peamiselt selguse toomisest. Filosoofia tulemus pole mitte hulk ``filosoofilisi väiteid'', vaid väidete selgus.''
Loogiliste positivistide olulisemad teesid kannavad endas Russelli-Whiteheadi logitsistliku programmi vaimu (praegusajal on muidugi kerge seda programmi naiivoptimistlikuks nimetada), ja üldistavad selle universaalseks eesmärgiks mujalgi peale matemaatika:
Niisiis oli loogiliste positivistide võtmeküsimuseks väidete kontrollitavus ehk verifitseerimine. Ajapikku selgus, et usaldusväärne verifitseerimine pole üldjuhul võimalik ei loodusteadustes ega sageli ka mitte matemaatikas (Gödeli resultaadid mittetäielikkusest), ning loogiline positivism kaotas oma aktuaalse (aga mitte ajaloolise) tähenduse.
Loogiliste positivistide kolm põhihuvi olid loogika, keel ja taju. Russell alustas loogikaga, jätkas tajuprobleemidega ja lõpetas semantikauurijana; Carnap alustas tajust, jätkas semantikaga ja lõpetas loogikuna. Kesksel kohal neist kolmest probleemiringist seisis keel ja keelefilosoofia.
Protsessi sajandivahetuse logitsistlikust optimismist neljakümnendate aastate n.ö. küpsema suhtumiseni illustreerib hästi Ludwig Wittgensteini vaadete areng. Wittgensteini vaated ja looming jaotuvad selgelt kaheks erinevaks perioodiks, kus põhiküsimused jäävad samaks, kuid neile lähenemise teed, metoodika ja lootused muutuvad kardinaalselt.
Mitmekülgselt andekas Wittgenstein alustas teadlasekarjääri 1908. aastal Manchesteri ülikoolis aeronautika tudengina, kuid hakkas varsti huvi tundma matemaatika aluste vastu. Russell'i 1903. aastal ilmunud raamat Matemaatika põhimõtted avaldas talle sügavat mõju ja 1911. aastal läks Wittgenstein üle Cambridge, kus tal õnnestus hakata õppima Russelli juures. Hiljem erakuna Norras töötades ja esimese maailmasõja ajal suurtükiväe ohvitserina rindel teenides kirjutas Wittgenstein märkmeid, millest sai kokku 1921. aastal avaldatud lühike (75 lehekülge), aga äärmiselt mõjukas Loogilis-filosoofiline traktaat (Tractatus Logico-Philosophicus). Tractatuse ja kogu Wittgensteini loomingu põhiteema on keele ja väljendatavuse piirid: kuidas on võimalik keele olemasolu; kuidas on võimalik teistele midagi öelda; miks nad öeldust aru saavad? Wittgenstein rõhutab Tractatuses keele piiratust (``on asju, millest ei saa rääkida''), kuid suhtub samas ülemäära optimistlikult loogika keele võimalustesse. Keelte paljus, väitis Wittgenstein, on eksiteele viiv; tarvis on otsida fundamentaalset, täpset, ühist nimetajat. Keel ja öeldavus piirneb Tractatuses enamvähem sellega, mida saab öelda loogika formaalses keeles. Maailm on, analoogiliselt logitsistide arusaamale, a priori korrastatud.
Tractatuse kirjutamise järel lõpetas Wittgenstein ajutiselt filosoofiaga tegelemise, töötas aastaid kolkaküla kooliõpetajana, seejärel aedniku ja arhitektina. 1929. aastal pöördus Wittgenstein tagasi Cambridge, seekord õppejõuna, ning alustas filosoofiauuringuid, nn. ``hilise Wittgensteini'' perioodi. Wittgensteini hilist perioodi kokkuvõttev teos Philosophische Unterschungen (Philosophical Investigations) ilmus 1953. aastal, peale Wittgensteini surma.
Investigations võtab maailma korrastatuse ning keele ja mõtlemise täpsuse suhtes Tractatusele vastupidise hoiaku. Keele ja mõtlemise mitmekesisuse taga ei ole universaalset ühist nimetajat. Keel on praktiline tööriist, mis tekib ja kannab tähendust ainult tegelikus kommunikatsiooniprotsessis. Wittgensteini lemmiknäide on sõna ``mäng''. Ta veenab lugejat, et mänguks nimetatavatel tegevustel pole ühist tuuma, pole mingit loogilist põhjust, miks neid kõiki just mängudeks nimetatakse - teisisõnu, loomuliku keele sõnu ei saa defineerida. Sõnade kasutus ongi sõnade tähendus. Defineerida ei saa ka selliseid filosoofia jaoks fundamentaalseid sõnu nagu ``teadmine'', ``väide'', ``reegel'', ``põhjus'' jne. Mingi sõnaga tähistatavate objektide ühise essentsi asemel tuleb rääkida nende perekondlikust sarnasusest. ``Mitteräägitavaid'' asju pole.
Wittgensteini varase perioodi ideoloogia ühtib oma põhiloomult selleagse loogika ideestiku ja ootustega ühe universaalse formalismi ning aksiomaatika järele, mille abil saaks kõike kirjeldada ning aksiomatiseerida. Wittgensteini hiline periood haakub Gödeli negatiivsete tulemuste järel saabunud murranguga loogikas: lootus maailma lihtsale loogilisele alusele oli kadunud. Varane Wittgenstein sobis logitsistide ning loogiliste positivistide programmi, hiline enam mitte: Bertrand Russell hindas kõrgelt Tractatust, kuid suhtus negatiivselt Investigations-i.
Logitsistika ja loogilise positivismi allakäigu järel jätkusid loogika ja filosoofia vastasmõjud, kuid ilma seniste ekstsessideta. Kõigepealt peab märkima, et mitmed fundamentaalsed loogikaprobleemid ja teoreemid pakuvad iseseisvat filosoofilist huvi. Otsesed kokkupuutepunktid on loogikal ja analüütilisel filosoofial endiselt keelefilosoofia pinnal, kus loogika oma kaugelearendatud teooriaga semantikast ja mudelitest esindab matemaatiliselt täpset äärmust, andes filosoofiale seega kindla punkti, millele vajaduse korral toetuda. Ühist huvi pakuvad mitteklassikalised loogikad (lisaks intuitsionistlikule on neist olulisemad modaalsed, relevantne, lineaarne, episteemilised ja mittemonootonsed loogikad), mis formaliseerivad spetsiaalset tüüpi arutlusi.
Näiteks formaliseerivad modaalsed loogikad arutlusi, kus kasutatakse võimalikkuse ja paratamatuse mõisteid. Paratamatu on näiteks väide``2+2 = 4'', võimalik aga väide ``Prantsusmaa on vabariik''. Võime ette kujutada maailmu, kus viimane väide ei kehti (neid on ajaloos juba olnud), kuid ei suuda ette kujutada maailma, kus esimene väide ei kehti. Viiekümendate aastate lõpul ehitas modaalsetele loogikatele range võimalike maailmade semantika ameerika semantik Saul Kripke. Richard Montague kasutas modaalset loogikat loomuliku keele semantika analüüsiks (Montague grammatikad), katoliiklik loogik Bochenski aga religiooniprobleemide analüüsiks.
Analüütilise tõesuse (s.o loogiline tõesus laiemas mõttes) küsimused on üks olulisemaid filosoofilisi küsimusi, mille uurimise juures on loogikal tähtis koht. Siinkohal tuleb mainida Willard Van Orman Quine'i (sünd. 1908) ja nn. funktsionalistliku koolkonna rajanud ja sellest hiljem lahti ütelnud Hilary Putnami nime, kes tegelevad nii puhta loogika kui filosoofiaga.
Quine'i ja Putnami seisukohalt ei ole analüütilistel ja empiirilistel väidetel mingit fundamentaalset vahet. Analüütilisteks nimetatakse väiteid, mille tõesus või mittetõesus tuleneb loogiliselt definitsioonidest, nagu näiteks väide ``onupoeg on meessoost'' ja matemaatikateoreemid. Empiiriliste väidete tõeväärtus sõltub ümbritsevast maailmast, tüüpiliseks näiteks on siin füüsika ja muude loodusteaduste väited. Quine püüab seejuures näidata, et teadus saab põhimõtteliselt hakkama puhtalt loogikale baseeruva keele abil ning nn. intensionaalseid määratlusi, nagu ``tähendus'' ja ``paratamatu õigsus'' pole teaduskeeles vaja kasutada.
Loogikaga on seotud ka ameerika lingvisti Noam Chomsky (sünd. 1928) tööd ning kaudselt kogu strukturaalne lingvistika.
Mahukaima koostööpinnase loogikale ja filosoofiale on viimaste k\"mnendite jooksul andnud tehisintellektiteadus ja kognitiivsusteadus (cognitive science). Neis valdkondades uuritakse informatsiooni esitamise ja vaimse tegevuse viise päris praktilisel eesmärgil, ehitamaks arvutiprogramme, mis suudaksid lahendada keerulisi, n.ö. intellekti nõudvaid ülesandeid. Selle uurimistöö käigus areneb samas ettekujutus inimese enda vaimsetest protsessidest. Loogika jaoks on siin fundamentaalseks probleemiks igapäevaste, tavaliselt ebakindlate ja umbmääraste teadmiste esitamine ning arutlemise juures kasutamine, introspektsioon, kommunikatsiooniprobleemid ja eksitustest ning väärinformatsioonist tekkinud segadustest ülesaamine.